Problem och Pythagoras

Jag har börjat läsåret med att bl.a undervisa om ett arbetsområde som behandlar triangeltal, kvadrattal, kvadratrot och Pythagoras sats. För många elever på högstadiet är Pythagoras sats något spännande och något de verkligen eftersträvar att behärska på djupet. Påståendet “kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna” som gäller rätvinkliga trianglar har varit känt i största delen av världen i årtusenden och alla som har gått i grundskolan känner igen begreppen på något sätt.

Jag inledde temat med att undervisa om begreppen kvadrattal och kvadratrot och sambandet dem emellan genom klassiska genomgångar där eleverna antecknade. Därifrån är steget kort till att beröra Pythagoras sats vilket vi också gjorde tillsammans genom olika exempel. Därefter lät jag eleverna arbeta en halv lektion med klassiska rutinuppgifter likt de på bilden nedan.

Det jag lagt överlägset mest tid på inom detta område (hittills 4-5 lektioner) är att låta eleverna arbeta med många olika problem där de har fått öva sig i tillämpning av Pythagoras sats i olika situationer. Jag har poängterat för eleverna hur viktigt det är att kunna koppla specifika situationer till Pythagoras sats även när de inte har en bild av en rätvinklig triangel framför sig. Jag tror att eleverna lättare identifierar dessa situationer när de har arbetat sig genom många olika problem med olika svårighetsgrad. Genom dessa övningar har eleverna givetvis också övat att skriftligt kommunicera sina beräkningar och har utöver det haft möjlighet att visa kunskaper om begreppen kvadrattal och kvadratrot samt tvingats lösa olika varianter av Pythagoras ekvation. På så sätt blir området också en repetition av den algebra som eleverna mött i tidigare undervisning.

Här är några exempel på problem i varierande svårighetsgrad som mina elever fått arbeta med och som du fritt kan testa att använda med elever om du vill:

Det första problemet liknar i mångt och mycket de rutinuppgifter som eleverna tränat sig i att lösa och är en bra övergång till problemlösning. Det kräver beräkningar i flera led. 

Det andra problemet handlar om att beräkna volymen på en kon där konens diameter och sida är känd. Problemet använde jag som ingång till att visa eleverna hur man kan finna rätvinkliga trianglar på ställen man inte vid första anblicken anar.

I det tredje problemet kopplade jag på begreppet likformighet, mest för att se om eleverna själva skulle dra den slutsatsen trots att vi inte arbetat med det på länge.

I ett fjärde problem fick eleverna beräkna hur långt det var mellan två punkter i ett koordinatsystem med hjälp av Pythagoras sats.

Det femte problemet krävde lite mer av eleverna när det gäller algebrakunskaper. Vi har ännu inte arbetat med kvadreringsreglerna men förvånansvärt många elever löste ändå problemet då de kunde multiplicera parentesuttryck.

De elever som klarade av föregående problem och som behärskar multiplikation av parentesuttryck klarade också av detta sista problem som jag hittills genomfört med eleverna. Nästa vecka ska vi diskutera elevernas lösningar av de tre sista problemen. Kanske blir detta en smidig övergång till undervisning om kvadreringsreglerna? Jag har inte bestämt det än. 

Jag hittade Galenskaparnas illustration av sambanden i en rätvinklig triangel. Den kommer framöver att få bli en rolig avslutning som får sätta punkt för arbetsområdet.

Lämna en kommentar

  • (will not be published)