Automatiserad multiplikationstabell- låt hjärnan tänka i fred

När jag arbetade på mellanstadiet låg mycket av fokus i undervisningen på att eleverna skulle behärska de fyra räknesätten, både huvudräkning och skriftliga räknemetoder inför kommande högstadiematematik. Samtidigt märkte jag av en trend som både kom och gick där det alltmer slarvades med träning för automatisering av framförallt multiplikationstabellerna men även enkla additioner och subtraktioner under elevernas första 6 år i skolan, något som motiverades med något så lösryckt som att det var viktigare att ha förståelse för matematiken (som om inte taluppfattning skulle vara en central del av grundläggande matematik). Ett annat argument var att repetition av grundläggande huvudräkning inte gav eleverna lust att lära mer och att fokus därför skulle ligga på undersökande och problemlösande aktiviteter vilka inte direkt hade t.ex. multiplikation som fokus utan där det skulle dyka upp en slags biprodukt utan att kontinuerligt utveckla taluppfattningen hos eleverna. Det visade sig tyvärr oftast att biprodukten uteblev. Nu när jag arbetar på högstadiet kan jag se resultatet av det förhållningssättet. Det har skapats en onödig klyfta mellan de som kan och de som inte kan. Det är självklart inte kört bara för det utan den klyftan kan överbryggas genom strukturerad undervisning även på högstadiet (se tips längst ned i inlägget). Det är givetvis viktigt med både automatisering och förståelse och det ena är naturligtvis inte motsatsen till det andra. Men varför är det viktigt att automatisera multiplikationstabellerna?

Först och främst är det ett enkelt sätt att avlasta hjärnan som istället för att lägga kraft på tankeoperationer kring multiplikationer kan lägga krutet på att lösa problem. Ska hjärnan ägna kraft åt bådadera får den kompromissa och kan därmed inte lägga lika mycket kraft på problemlösningen. Det här märker eleverna och risken att tappa motivationen ökar då eleven ofta både får kämpa med rutinmässiga beräkningar och kanske ännu mer med problemlösning. Klyftan mellan eleverna tenderar med tiden bli allt större och med ökad svårighet på problem blir problemlösningen, åtminstone i elevernas ögon, berg som verkar omöjliga att bestiga.  

calculator-820330_1920

Vi har ju alla miniräknare i fickan i form av en mobiltelefon kanske någon invänder? Jag har bland annat sett argumentet i förenklade tidningsartiklar i kvällspressen även på senare år. Förvisso är det sant att mobiltelefonen har en miniräknarapp men samtidigt skulle ingen ta fram den för att beräkna enkla multiplikationer då det är mer energikrävande, omständigt och till och med pinsamt i många situationer (inte minst i vardagen). Gör man mot förmodan det vid svårare problemlösning ägnas där återigen hjärnans kapacitet till något annat än det väsentliga med en ofta försämrad kvalitet i själva problemlösningsprocessen som följd då ytterligare en variabel ska hållas i minnet. I förlängningen tror jag det till och med påverkar möjligheten till och kvaliteten i övervägningar som krävs för att ta bra beslut vid viktiga val i livet.

Idag finns det inte så många matematiklärare som ifrågasätter vikten av automatisering i tidigare årskurser som en grund för den fortsatta utvecklingen av taluppfattning som i sin tur står som ett fundament vid problemlösning. Vis av erfarenheten märkte lärare på såväl låg- som mellanstadiet att trenden där eleverna inte fick repetera multiplikationstabeller eller grundläggande subtraktioner tillräckligt ledde till det motsatta, omotiverade elever som inte kunde tillägna sig den fortsatta matematiken överhuvudtaget. Ska vi dessutom tala om lusten att lära leder dels kunnandet i sig (de automatiserade tabellerna) till en lust/motivation att lära mer och även en ökad lust i och med att kunnandet i sig också tillgängliggör stora delar av den övriga matematiken för eleverna, något som för många är en vinst. Med spikskor och livlina känns plötsligt inget berg för högt att bestiga. 

Tips: För några år sedan kom jag i kontakt med en metod för att öva multiplikationstabellerna under fem veckors tid, en aktiv automatiseringsträning som dessutom är tidseffektiv (lämplig både på mellanstadiet och högstadiet). Matematikläraren Tommy Lucassi har gjort materialet baserat på boken “Huvudräkning” av Wiggo Kilborn. Här är en beskrivning av hur metoden går till och här är en länk till materialet man kan använda. 

Strukturerad undervisning under lärares ledning – vad är det?

I ett tidigare blogginlägg “Värdeorden i kunskapskraven – läroplanens svarta får” resonerar jag kort om hur olika ämnen har olika karaktär och jämför bland annat matematik och historia. Med hänvisning till bland andra Paul Hirst beskrev jag matematik som ett ämne vilket i högre grad än kanske något annat ämne har karaktärsdraget att begrepp är beroende av och har sin betydelse i relation till andra begrepp. Begreppen i ämnet har en hierarkisk ordning. I historia och de andra humanistiska ämnena är inte begreppen hierarkiska i samma utsträckning även om det givetvis förekommer exempel på sådan ordning i alla ämnen. Språk är i sig delvis uppbyggt på det sättet, dvs. att man förutsätts veta t.ex. vad som skiljer begreppen pojke och flicka för att på så sätt kunna avgöra den aspekten i tolkningen av begreppen prins och prinsessa. Kanske är det beroende på att matematik också är en form av språk som begreppen hamnar i centrum på detta sätt?

Alla lärare är ute efter att skapa en slags struktur i undervisningen som ska vara möjlig för eleverna att förstå och följa, en slags trygg ram. Jag talar då om det som i läroplanen uttrycks:

”Skolan ska erbjuda eleverna strukturerad undervisning under lärares ledning, såväl i helklass som enskilt” (LGR11)

Hur kan en sådan struktur se ut och vad innebär egentligen strukturerad undervisning i helklass och enskilt? Att det dessutom ska ske under “lärares ledning” är något som egentligen inte varit så självklart som det borde i den svenska skolan men idag tror jag det är det få som ifrågasätter den delen, åtminstone inte i grundskolan (vi ska dock minnas att vi tyvärr hör talas om lärarlösa lektioner fortfarande på sina håll, framförallt i gymnasieskolan). Om jag tittar på mina erfarenheter av undervisning i både de samhällsorienterande ämnena och matematik tror jag att just skillnaderna som jag beskrev i början av inlägget gör att vi kommer se skillnader även i hur undervisningen är strukturerad samt i hur strukturerna upplevs av elever och lärare. Med det sagt tror jag inte det är någon nackdel utan bara en naturlig följd av ämnenas karaktär. Däremot tror jag det kan finnas en risk i att försöka skapa en humanistisk struktur på matematikämnet eller vice versa vilket jag har sett på flera håll. Ett exempel på det är om man tror matematikämnet blir mer engagerande och intressant för eleverna om man byter ut namnen i textuppgifter till elevernas namn eller om man tvingar in matematiskt innehåll i en kontext där matematiken blir krystad för eleverna.

En populär modell som varit aktuell några år, i synnerhet i många grundskolor, är Göran Svanelids “The Big 5” som näst intill blivit en rörelse och handlar om hur man kan se på och strukturera förmågorna som uttrycks i läroplanen. Jag tror tyvärr att modellen The Big 5, även om det inte var intentionen, bidrar till det jag beskrev i slutet av förra stycket, dvs. att man försöker generalisera förmågebegreppens betydelse mellan ämnen med viljan att skapa ämnesövergripande generella strukturer och givetvis för att underlätta för elever men jag upplever att det slår fel på många sätt då många lärare inte tar hänsyn till ämnenas skilda karaktärer och stoff utan litar till att förmågor är generella, överförbara och inte så starkt knutna till ämnesinnehållet som jag vill påstå att de är. Jag tror också det jag beskrivit om ämnenas olika karaktär vad gäller t.ex. begrepp är en av anledningarna till att matematiklärare generellt haft svårigheter att acceptera och anamma idén om Big 5. Jag tycker Ingrid Carlgrens föreläsning “Från kunskaper till förmågor” (https://www.youtube.com/watch?v=gEvibBS1HpE) är intressant på det temat.  

På bilden nedan har jag skissat en liten bild på hur jag ser matematikämnet i grundskolan, utifrån läroplanens begrepp:

Problemlösning

Som jag ser det handlar grundskolans matematik primärt om att eleverna ska få utveckla sin förmåga att lösa problem. För det behöver eleverna lära sig en stor mängd matematiska begrepp. Med den ökade mängd begrepp eleven lär sig att se samband mellan följer fler metoder att lära för att lösa rutinuppgifter, dvs. uppgifter där en given känd metod fungerar, något som dessutom i läroplanen är specificerat till områdena aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring och därmed också knutet till kunskaperna om matematiska begrepp. Problemlösning handlar sedan om att använda sin arsenal av begrepp och metoder (och modeller), och vidare utveckla sina strategier för att formulera, angripa och systematiskt lösa problem. Allt ovanstående uttrycks och sker sedan genom matematiska resonemang (ett slags muntligt eller skriftligt “bevis”) och genom kommunikation (samtal, förklaringar och/eller med olika uttrycksformer).

Det här är för mig är strukturen på ämnet matematik i grundskolan. Utifrån det strukturerar jag också min undervisning som också primärt baseras på problemlösning och begrepp. Man kan se det som en cykel där problemlösningen är helt övergripande. Utöver det introduceras begrepp, ett efter ett i en ordning. Att introducera kan vara att läraren förklarar men också att eleverna genomför undersökande aktiviteter eller med hjälp av gamla begrepp får komma i kontakt med situationer som kräver nya begrepp vilket eleverna genom aktiviteter som främjar beskrivande och analyserande får befästa. Här finns stora möjligheter att rent didaktiskt variera undervisningen. Med hjälp av nya och gamla begrepp får eleverna sedan lära sig metoder och metodernas användningsområde. Ofta (alltid!) kräver dessa mycket repetition och hänvisningar till tidigare lärda begrepp för att bli rutinmässiga. Parallellt med detta är min tanke alltså att eleverna får utveckla sin problemlösningsförmåga och där blir det naturligt att eleverna får ställas inför problem där deras utökade arsenal av begrepp och metoder också får möjlighet att komma till liv i konkreta situationer, såväl rent matematiska som verklighetsanknutna.

Nu undrar du säkert var resonemang och kommunikation kommer in? Det är genom språket matematiken kommer till liv. I begreppet språk ligger flera aspekter utifrån det sätt som jag ser på matematikämnet i grundskolan. Matematiken är dels ett språk i sig men det språk vi talar i klassrummet gör också att matematiken kopplas till och mellan eleverna och genom det levandegörs för eleverna.  Genom att låta arbetssättet vara undersökande, kommunicerande och problemlösande får eleverna möjlighet att t.ex. beskriva tillvägagångssätt vid problemlösning, resonera om hur begrepp hör samman och framföra/bemöta argument kring t.ex. lösningars effektivitet och med hjälp av olika uttrycksformer kommunicera matematiken. För mig har fokus på begrepp och problemlösning oundvikligen lett till att planeringsarbetet också innefattar metoder, resonemang och kommunikation. Annars skulle eleverna inte kunna komma vidare till att lära nästa begrepp. Däremot tycker jag det är långt lättare att bedöma begreppsförmågan, problemlösningsförmågan och hur väl en elev behärskar metoder jämfört med resonemang och kommunikation i matematik. För att ta ett exempel och åter jämföra med historieämnet där ett kvalitativt resonemang ofta sker i flera led och med en viss bredd handlar ju matematiken om att på något sätt göra något så effektivt som möjligt. Ofta handlar det om “att snäva in snarare än att bredda ut”.

Så hur skiljer sig det hur jag organiserar undervisningen ovan med hur det ser ut i SO-ämenna? Som sagt har matematik karaktären där begrepp bygger på varandra. I SO är begreppen också ytterst viktiga men fungerar oftare enligt mig som små öar av kunskap som inte är lika sammanbundna mellan olika teman som i matematiken, alltså viktiga på ett annat sätt- en annan karaktär. Bedömningen av hur väl en elev använder begrepp tenderar också att mer fokusera på den kvantitativa delen, dvs. hur ofta en elev använder rätt ämnesspecifika begrepp. Någon som dock är mycket centralt i SO-ämnena är den stora mängden stoff (till skillnad från exempelvis matematik) en elev behöver han kunskaper om för att kunna resonera kring, förklara och undersöka samt applicera källkritisk kunskap på. Kunskap kring stoffet som helhet är därmed avgörande för kvaliteten i övergripande resonemang. I matematik räcker det oftast med ett avgränsat område medan man i historia för att t.ex. få syn på utvecklingslinjer alltså behöver ganska omfattande kunskaper som dessutom sträcker sig över tid, en uppgift som många gånger kan kännas övermäktig för både lärare och elever i åk 4 och 7 där man påbörjat ett nytt centralt innehåll som grund för att utveckla förmågorna. 

Mikael Bruér har här skrivit lite tankar om hur man kan skapa struktur i SO-ämnena genom att planera väl och tydliggöra för eleverna genom att bland annat dela in arbetsområden i delmoment och erbjuda eleverna stödstrukturer (eller mallar som många kallar det) för att skapa en struktur i det stora stoff som eleverna ska behandla.

Det jag här ovan har beskrivit är lite tankar om hur man kan se på den övergripande strukturen i ämnen i skolan. Även varje enskild lektion bör vara strukturerad utifrån det som eleverna ska lära sig och utveckla under den avgränsade tiden men det får bli ett annat inlägg.

Avslutningsvis vill jag bara nämna något kring devisen “Språk i alla ämnen” som glädjande nu genom språkutvecklande arbetsformer fått fäste, didaktiskt, i klassrummen runt om i Sverige. Kanske är det så att begreppens hierarkiska ordning i några ämnen (de naturvetenskapliga) och de humanistiska ämnenas inte lika hierarkiska begreppsordning bör tas hänsyn till vilket också skulle kunna skapa förståelse över ämnesgränserna över att en strukturerad undervisning under lärares ledning faktiskt kan se ganska olika ut.

Ett litet praktiskt tips: jag använde lite tid till att skapa en WordPress till eleverna med genomgångar av olika begrepp och metoder (som jag fann på Youtube) vilka strukturerades upp utifrån det material vi använder i matematik och som ett stöd för elever som kanske varit sjuka, vill förbereda sig till lektionerna eller helt enkelt behöver en extra genomgång. Ett stort tack till Tobias Kroon i Varberg som ligger bakom de allra flesta av filmklippen vilka säkerligen tagit en hel del tid i anspråk att tillverka. Jag hoppas också kunna bygga ut med aktiviteter kopplat till de olika momenten efterhand.

Adressen är: http://matematik789.wordpress.com

För lärare som undervisar i åk 4-6 kan jag tipsa om motsvarande struktur här: http://www.kimsmatematik.com

 

Pi-dagen

Idag den 14:e mars är det Pi-dagen (med amerikanskt datumformat 3/14) . Pi är en matematisk konstant (vars värde ofta avrundas till 3,14) som alla elever stöter på i grundskolan där den bland annat representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter. Enligt Wikipedia har Pi-dagen firats sedan slutet av 80-talet och vem har inte de senaste åren just den 14:e mars sett olika skämt i form av t.ex. pajer och liknande som fått sägas symbolisera just Pi.

Här är ett intressant klipp från kanalen Numberphile på Youtube om olika sätt att visuellt representera Pi som verkligen verkligen visar matematikens estetiska sida:

På skolor i Sverige uppmärksammas Pi-dagen på olika sätt. Hur gör ni?

Att värdera betalningsmodeller stimulerar matematiska resonemang

I fredags genomförde jag en bedömningsuppgift inom området samband och förändring med elever i åk 8 som jag gillar och som möjliggör för eleverna att såväl resonera, kommunicera och visa kunskap om begrepp som proportionalitet och linjära samband. Uppgiften (som fanns med på ett nationellt prov för några år sedan) bygger på att man presenterar några olika modeller, t.ex. betalningsmodeller som eleverna sedan utifrån en graf ska analysera och jämföra. Man kan enkelt själv konstruera exempel på modeller som dessa i verktyg som Desmos eller Geogebra utifrån en kontext som passar eleverna om man så önskar (bilden nedan tog tio sekunder att konstruera via Desmos).

Skärmklipp 2016-03-09 19.28.45Eleverna får först i uppgift att läsa av och visa att de förstår vad graferna visar för att sedan få resonera och motivera de olika modellernas fördelar och nackdelar. Just den senare delen möjliggör för eleverna att visa sina kunskaper på olika nivåer då eleverna med en lägre kunskapsnivå har mer generella och språkligt vardagliga motiveringar till sina resonemang medan de på högre nivåer ger mer specifika och konkreta/matematiska motiveringar så att deras kunskaper om grafernas egenskaper tydliggörs.

En ytterligare uppgift för eleverna är att formulera generella formler för de olika modellerna vilket synliggör elevernas begreppsliga kunskap genom att de tvingas visa på sambandet mellan grafer och uttryck. Här får eleverna också på ett naturligt och vardagsnära sätt se användbarheten av den algebra vi tidigare arbetat med.

Eleverna då? Eleverna tyckte uppgiften var konkret och att den gav känslan av ett visst friutrymme att visa de kunskaper de utvecklat de senaste veckorna. Kontexten för uppgiften var känd för eleverna och samtliga elever i gruppen kände att de kunde visa sina kunskaper oavsett kunskapsnivå. Jag frågade eleverna den nästkommande lektionen när de fick tillbaka sina lösningar och se hur jag bedömt deras arbete om de utifrån det kunde se vad de behövde utveckla ytterligare och också det blev i det här fallet tydligt för eleverna då det till det gamla nationella provet både fanns elevexempel och bedömningsanvisningar att utgå från vid bedömningen. Sammantaget var uppgiften givande både för mig och eleverna att genomföra. 

Hjälp – vi dränker eleverna i återkoppling!

Runt om i landet försöker lärare utveckla undervisningen tillsammans mer intensivt än någonsin förr. Jag törs också påstå att de flesta lärare någon gång de under de senaste åren har refererat till antingen John Hattie eller Dylan Wiliam när de diskuterat betydelsen av återkoppling till elever med sina kollegor. Vi vet att lämplig återkoppling är viktig för elevernas lärande. Vi vet också att återkoppling ska vara framåtsyftande och också höra ihop med det eleverna ska utveckla. Det vi däremot inte diskuterar så ofta är balansen när det gäller mängden och formen av återkoppling som eleverna förväntas ta in och omsätta i praktik. Elever är som bekant inte några kärl som kan processa hur mycket som helst från en bok, av det en lärare säger eller liknande. Varför skulle det vara annorlunda med återkoppling? Processandet torde vara än svårare och “mer trögflytande” om återkopplingen träffar rätt, dvs. när vi rör oss inom den proximala utvecklingszonen. Speciellt på högstadiet och gymnasiet där eleverna uteslutande möter ämneslärare men faktiskt också i grundskolans tidiga år ges återkoppling till eleverna i en allt mer ökad mängd och i nya former. Hur kan vi hjälpa eleverna att sortera all denna information om sitt lärande i de olika ämnena som de får och hur effektiv är egentligen all den feedback som lärare ger “per capita”? En god idé är att gemensamt med kollegor reflektera över balansen i och kvaliteten på återkopplingen inom och mellan ämnen. Återkopplingens kvalitet måste alltid vara viktigare än mängden. Jag tror att vi lärare behöver vara uppmärksamma så att inte vågen slår över och en för stor mängd ineffektiv återkoppling sköljer över eleverna i vår vilja att göra rätt.

5201223017_9363f18fe8_b

Det finns naturligtvis olika typer av återkoppling. Den kan vara långsiktig eller kortsiktig, muntlig eller skriftlig, uppgiftsspecifik eller generell, snäv eller vid för att ta några exempel. Jag har sedan LGR11 infördes sett många olika former av återkoppling och också  själv provat olika varianter. Det jag slås av är att det är den uppgiftspecifika och direkta återkopplingen som ger (bäst?) resultat och som uppskattas och tillvaratas mest av eleverna. Det kan handla om att eleverna ställs inför ett kritiskt moment i matematik och läraren synliggör misstag kring ett begrepp eller en metod och möjliggör en omedelbar förändring hos elevens tänkande som därmed inte fortsätter missuppfatta begreppet eller metoden. Det kan också handla om att tillsammans med eleverna analysera arbeten av olika kvalitet i samhällskunskap och låta eleven sätta sitt arbete i relation till dessa efter uppställda kriterier för kvalité. Det kan vidare handla om något så enkelt (men samtidigt så individuellt och svårt) som att ge direkt återkoppling på en text som eleven sedan får chansen att bearbeta eller att tala om vad en elev i geografi kan fokusera på just nu på lektionen. Återkoppling kan faktiskt enbart bestå i några få ord till eleven/eleverna här och nu. Gemensamt för återkopplingen jag beskriver är att den är greppbar och omedelbar för eleverna. De kan genast ta itu med sin utveckling. De känner nästa nivå inom räckhåll.

Ändå har jag sett många exempel på lång skriftlig återkoppling som innehåller referenser och språk rakt saxat från kunskapskraven istället för ett mer specifikt ämnesrelaterat språk kring kvalitet kopplat till uppgift, något som alltför ofta sker via matriser (som om det skulle rättfärdiga saken). Jag har också sett exempel på (och säkert också själv givit) återkoppling på en så abstrakt och generell nivå att den blir obegriplig och oanvändbar för eleven då den inte tar hänsyn till undervisningens innehåll. Jag tror att den återkopplingen ibland ges med syftet att “ha ryggen fri” eller av tidsbrist, tråkigt nog, vilket dock är bortkastad tid. Likaså när återkopplingen på uppgiftsnivå ges i form av en bokstav. Vi behöver finna en balans där eleven kan greppa sin utvecklingspotential och samtidigt känna tillit till lärarens bedömning på lång sikt. Ett högt betyg är ingen absolut rättighet för eleverna. Däremot ska vi alltid fokusera på att utveckla kvalitéer både på elevernas kunskaper och på vår undervisning. Givetvis ska eleverna ibland få information om hur deras kunskaper står sig i förhållande till kunskapskraven, men jag tror inte det ska vara huvudfokus för lärandet. Faktum är att minst 9 av 10 elever upplever att de får rättvisa betyg. Det tål också att sägas att det gäller oavsett om betyget ÄR rättvist eller inte vilket jag tolkar som att de elever vilka har en god undervisningsrelation till sina lärare också litar på deras bedömning vilket i just det här fallet får sägas vara både på gott och ont. Därför menar jag att återkoppling på uppgiftsnivå, som är snabb, kort och direkt kännbar är det som gynnar elevernas lärande mest, både på kort och lång sikt. Den hanterar eleverna i ögonblicken för undervisningen och bär sedan med sig som nyupptäckt kunskap istället för att känna sig instängda i ett rum som fylls till bredden med vatten. Låt oss inte dränka eleverna i återkoppling som inte spelar roll.

Linjära samband och digitala verktyg

I åk 8 undervisar jag just nu om linjära samband. Eleverna övar sig bland annat i att kunna ange koordinater korrekt, fylla i  värdetabeller, formulera uttryck och rita/tolka grafer. Eleverna får givetvis också lösa problem inom området som kräver tankar/metoder i flera led samt förståelse för och användning av nya begrepp. När jag introducerade temat för eleverna lät jag dem med hjälp av digitala verktyg arbeta med några övningar som jag hade förberett i Desmos. Eleverna fick bland annat beskriva några koordinater som jag markerat och arbeta med några uppgifter om proportionella samband. Alla svar eleverna gav på frågorna kunde jag samtidigt hålla koll på under tiden eleverna arbetade. Efter en stund kunde vi lyfta elevernas uppfattningar och missuppfattningar gemensamt i helklass till diskussion och jag fick en någorlunda bra bild över elevernas förkunskaper. I diskussionerna behandlade vi allt från hur man korrekt skriver koordinater till att diskutera vad proportionalitet är. Bilderna nedan visar några uppgifter som eleverna fick men också min “lärarpanel” där jag kunde titta på allt och senare se vad eleverna svarat individuellt, fråga för fråga. 

Skärmklipp 2016-02-13 22.13.39 Skärmklipp 2016-02-13 22.14.18 Skärmklipp 2016-02-13 22.15.48

IMG_3762En bra övning för att eleverna ska utveckla sin förmåga att se samband mellan olika representationer är att få para ihop olika värdetabeller, grafer och uttryck och sedan motivera varför de parat ihop just dem. På det sättet kan elevernas resonemang och förståelse för begrepp synliggöras likväl som elevernas kommunikation mellan varandra stimuleras. Jag lät eleverna efter att vi haft den lilla introduktion jag beskrivit ovan spela ett litet spel som automatiskt parar ihop eleverna två och två allt eftersom de loggar in. Den första eleven väljer ett av 16 koordinatsystem med tillhörande linje. Den andra eleven får i den omgången gissa vilket koordinatsystem den första eleven valt genom att ställa ja- och nej-frågor och sedan utifrån svaret utesluta de koordinatsystem det inte stämmer in på (jämförbart med det klassiska sällskapsspelet “Vem där?”). Här synliggörs elevernas begreppsliga kunskap inom området tydligt och det skapas ett behov för eleverna att tillgodogöra sig ytterligare begrepp för att kunna beskriva de olika graferna. Som vi kan se på bilden nedan har eleverna viss kunskap om begrepp men tydligt är också att eleverna behöver ytterligare kunskap om matematiska begrepp, något som de själva också blir varse om under den här aktiviteten.

Skärmklipp 2016-02-13 22.21.06Min plan är att eleverna under någon av de sista lektionerna i slutet av arbetsområdet ska få spela spelet ytterligare en gång, förhoppningsvis rikare på matematiska begrepp inom området samband och förändring vilket jag då lätt kan påvisa för eleverna genom en jämförelse mellan de båda omgångarna.  

Generellt tycker jag området “samband och förändring” bjuder in till användning av digitala alternativ som Desmos eller Geogebra på ett naturligt sätt vilket är stimulerande både för oss lärare när vi organiserar undervisningen och för eleverna när de ska lära sig.

Synliggör missuppfattningar tidigt – för lärandet

Inom matematikämnet finns det en lång rad kända missuppfattningar elever kan ha kring olika begrepp, samband mellan begrepp eller olika metoder. Missuppfattningarna bidrar ofta till att eleven inte kommer vidare i sin kunskapsutveckling då matematik är ett ämne där nya begrepp bygger på gamla begrepp som eleverna lärt sig. Därför är det av vikt att elevernas missuppfattningar reds ut tidigt så att eleverna inte behöver generalisera och cementera sina felaktiga uppfattningar och använda kunskapen felaktigt i nya situationer. Missuppfattningar är inget som försvinner med ökad mognad utan behöver undervisas om och synliggöras. En bra bok i sammanhanget är “Förstå och använda tal- en handbok” av Alistair McIntosh som dels beskriver de vanligaste missuppfattningarna men också bidrar med bra diagnostiska uppgifter som passar för att synliggöra de eventuella missuppfattningar som eleverna har. Nedan ger jag två exempel på uppgifter en lärare skulle kunna ge sina elever:

Exempel 1

Vilket är det största talet: 0,09 eller 0,1

Exempel 2

Vilket är det största talet: 0,09 eller 0,10

Det jag vill illustrera med exemplen ovan är att det är oerhört viktigt att som lärare tänka efter noggrant hur man formulerar frågor/uppgifter till eleverna och vilka exempel man använder sig av. Vissa exempel eller frågor är helt enkelt mer lämpliga att ställa om man vill få syn på missuppfattningar än andra. Som man frågar får man svar. I det här fallet är talparen i exempel 1 förmodligen lämpligare än de i exempel 2 om man vill synliggöra eventuella missuppfattningar eleverna kan ha om decimaltal och positionssystemet. När det gäller talparen i exempel 1 är det vanligt att elever har uppfattningen att 0,09 (noll komma noll nio) är ett större tal än 0,1 (noll komma ett) av den anledningen att 9 är ett större tal än 1 vilket alltså är en vanlig missuppfattning. Tittar vi på det andra exemplet skulle samma elev ställas inför frågan om talet 0,09 (noll komma noll nio) eller 0,10 (noll komma tio) är störst. Med samma resonemang och en felaktig uppfattning/kunskap om positionssystemet skulle eleven förmodligen svara rätt på den uppgiften eftersom 10 är ett större tal än 9 och eleven skulle fortfarande inte förstå positionssystemet. Läraren å sin sida får inte syn på detta vid exempel 2.

Skärmklipp 2016-02-03 21.05.31

Ett alternativ man kan använda sig av i undervisningen är att i klassrummet låta elever utifrån olika exempel undersöka och förklara för varandra vilka missuppfattningar kring ett begrepp som kan ha varit aktuella. Nedan är två exempel på det:

X tror att 6/7  är större än 7/8. Vad/hur har X missuppfattat? Hur borde X ha tänkt?

eller

Y säger att 2,09 + 0,1 = 2,10  Vad/hur har Y missuppfattat? Hur borde Y ha tänkt?

Som lärare behöver man naturligtvis också skapa ett klimat i klassrummet där missuppfattningarna blir en naturlig del av att lära sig och att det är något som inte ska döljas av vare sig lärare eller elever utan lyftas upp i ljuset för allas skull. Givetvis kräver det också en lärare som känner till dessa missuppfattningar och kan föregå och hjälpa eleverna i tid. 

Mönster och mystik

Just nu arbetar vi med algebra i åk 8. Under några lektioner har eleverna fått öva att skriva generella uttryck för olika mönster. Just att teckna formler eller uttryck omgärdas av en slags mystik för många elever och det kan vara en extra morot för eleverna att dels lyckas få syn på ett mönster men också att utifrån det lyckas formulera ett generellt uttryck för det i matematik. Momentet innehåller alltså två olika steg där det första handlar om att se mönstret genom att exempelvis förstå hur nästa figur i mönstret ska se ut. De allra flesta eleverna brukar lyckas med det och får i och med det motivation till att ge sig an det andra momentet, att formulera generella uttryck.

Ett enkelt första exempel på mönster som mina elever fått arbeta med är följande:

Skärmklipp 2016-01-20 22.39.06

De flesta av eleverna såg att mönstret ökar med fyra kvadrater för varje figur och att kvadraten i mitten finns med i alla figurer. Därför formulerade de uttrycket 4n+1. Det vanligaste resonemanget hos eleverna när de tog sig an det här mönstret löd ungefär:

eftersom ökningen för varje figur är 4 ska uttrycket börja med “4n” och därefter ska delen som finns med i alla figurer adderas”. Inga elever reflekterade över eller nämnde att “armarna av kvadrater” innehöll samma antal kvadrater som figurens nummer.

Jag presenterade därför följande mönster för eleverna:

Skärmklipp 2016-01-20 22.58.41

Återigen resonerade många av eleverna på samma sätt som vid förra mönstret. Eftersom mönstret ökade med två kuber för varje figur menade många inledningsvis att det generella uttrycket skulle skrivas som 2n vilket skulle adderas med kuben längst ned till höger. Här märkte många av eleverna att det inte kunde stämma vid en prövning när de applicerade uttrycket på figur 1 eftersom det finns en slags “förskjutning” i mönstret vilket var nytt för eleverna att ta hänsyn till. Nu var vi därför tvungna att diskutera vidare om vi kunde se något annat som kunde hjälpa oss att resonera oss fram till lösningen. Då började eleverna titta efter andra saker och snart såg flera elever att den horisontella raden med kuber längst ned motsvarade figurens nummer medan stapeln ovanpå motsvarade figurens nummer subtraherat med 1. På det sättet kunde eleverna sedan formulera uttrycket n+(n-1) vilket vi kunde förenkla till 2n-1.

Slutligen presenterade jag ett sista mönster som jag trodde skulle vålla större svårigheter för eleverna.

Skärmklipp 2016-01-20 22.16.16

Något som förvånade mig men som också gladde mig var att fler elever än vid förra mönstret direkt kunde resonera sig fram till att höjden på den horisontella rektangeln i mitten av varje figur motsvarade figurens nummer, att basen kunde uttryckas som figurens nummer adderat med två samt att det alltid fanns två kvadrater på sidorna av varje figur. Utifrån det resonemanget formulerade dessa elever direkt uttrycket n(n+2) + 2 vilket visserligen hade kunnat förenklas till n²+2n+2 men det hann vi inte göra under den här lektionen.

För vissa elever fungerar det bra att rita en tabell bra för att synliggöra mönster och utifrån det sedan formulera generella uttryck. Andra elever resonerar sig utifrån mönstret fram till uttrycket genom att direkt finna mönstret i t.ex. en bild.

 

Tips: Alla mönster ovan är hämtade från sidan http://www.visualpatterns.org som är en bra sida för matematiklärare att hämta färdiga mönster från.

Min första matematiklektion i förberedelseklass

En ingång till språkutveckling för nyanlända elever kan vara matematikämnet där det matematiska språket och innehållet kan förena eleverna genom ett strukturerat arbete där man utreder begrepp grundligt tillsammans och sedan ger eleverna möjlighet att använda de nyvunna språkliga kunskaperna i problemlösning, resonemang, kommunikation och metoder.

Jag tror variation är ett nyckelord som alltid är viktigt att bära med sig vid planering av undervisning och som vi absolut inte får glömma vid undervisningen av nyanlända. Jag tror också att det finns en lite större risk att undervisningen av nyanlända kan bli ensidig just på grund av begränsningarna vad gäller språket. Jag tror det kan vara lätt att undervisningen enbart fokuserar på det som kan uttryckas med siffror som vi oftare har gemensamt med varandra snarare än att målmedvetet även fokusera både på de matematiska begrepp eleverna behöver djupare kunskap om men också språket som används vid problemformuleringar och i samtal. Områden som geometri, sannolikhetslära eller statistik riskerar att hamna i bakgrunden liksom elevernas utveckling av att föra matematiska resonemang eller förmåga att analysera begrepp och kommunicera med andra. Varierad undervisning både när det gäller form och innehåll är som vi vet stimulerande och motiverande för elever. Upplevelsen av att kunna, förstå och att kunna göra sig förstådd fungerar också så och därför tror jag vi behöver fokusera på språket i matematiken i synnerhet för de nyanlända eleverna.

Eftersom begrepp är en central del av matematiken tror jag ett sätt kan vara att arbeta utredande tillsammans med eleverna, något jag också gjorde idag då jag inledde ett geometritema i den förberedelseklass med elever i åk 7-9 jag undervisar. Vi började med att rita geometriska figurer som vi sedan beskrev med hjälp av matematiska begrepp som sida, vinklar, hörn, motstående, parallell etc. För att stimulera eleverna att resonera frågade jag om en rektangel och en kvadrat är samma sak? På så sätt fick vi använda begreppen “lika” och “olika” men också finna likheter vilket så småningom kan leda oss in på det faktum att kvadraten i matematiken är ett specialfall av rektangel, något vi dock inte hann diskutera under dagens lektion. Genom att ta hjälp av den undersökande struktur vi tillämpat på kvadraten och rektangeln fick eleverna sedan göra egna beskrivningar av en triangel och några olika polygoner samt en cirkel och också jämföra dessa figurer med kvadraten och rektangeln. Det är viktigt att eleverna genast får använda de begrepp de lär sig så de får se och använda dem i sitt/sina sammanhang. Med denna grund tänker jag framöver också introducera fler geometriska figurer liksom begreppen omkrets och area och låta eleverna utveckla sina resonemang genom att göra jämförelser. Här ser jag också möjligheter att låta undervisningen även innefatta olika måttenheter och enhetsomvandlingar senare, något som i sig kan gagna elevernas taluppfattning.

Eleverna tyckte när vi sammanfattade lektionen att den var lyckad vilket jag tror berodde på att alla hade ett gemensamt innehåll att relatera till som de som grupp delade men också för att vi skapade förutsättningar för eleverna att språkligt formulera matematiken både till sig själv idag och till andra i framtiden. Själv hoppas jag att eleverna fick en liten bild av hur jag vill att matematiklektionerna i gruppen ska se ut framöver, elevaktivt och språkutvecklande.

Kartläggning av nyanlända elevers kunskaper

Lagom till skolorna startar efter julledigheten släpper Skolverket ett efterlängtat kartläggningsmaterial för nyanlända som idag offentliggjordes och finns att ladda ned från bedömningsportalen.

Kartläggningsmaterialet är nationellt och har bland annat som syfte att främja rättsäkerhet och likvärdighet. Dessutom är kartläggningen en förutsättning för att undervisningen och stöttningen ska kunna organiseras efter elevernas individuella behov. Kartläggningen sker i olika steg där steg 1 handlar om att kartlägga elevens språk och erfarenheter, steg 2 om elevens kunskaper inom litteracitet och numeracitet och i steg 3 slutligen ämneskunskaperna (ett material som ännu inte offentliggjorts).  

Strax innan jul började jag arbeta på en ny skola där jag ska ansvara för matematikundervisningen i förberedelseklass. Naturligtvis kommer alla stegen i kartläggningen vara viktiga för undervisningen i matematik men i synnerhet numeracitetsdelen i steg 2 och kartläggningen av matematikkunskaper i steg 3. Jag har tittat på numeracitetsmaterialet som kartlägger hur väl eleverna kommit i kontakt med matematiskt tänkande, framförallt inom området vardagsmatematik. Det som kartläggs är bland annat elevernas förmåga att sortera, se mönster och uppfatta proportinalitet, att bedöma rimlighet och uppskatta storheter och slutligen elevens uppfattning om tal. Jag tycket det är bra att det skapas en systematik och likvärdighet kring kartläggningen av kunskaper på detta sätt och ser fram emot del 3 av materialet också.