Mönster och mystik

Just nu arbetar vi med algebra i åk 8. Under några lektioner har eleverna fått öva att skriva generella uttryck för olika mönster. Just att teckna formler eller uttryck omgärdas av en slags mystik för många elever och det kan vara en extra morot för eleverna att dels lyckas få syn på ett mönster men också att utifrån det lyckas formulera ett generellt uttryck för det i matematik. Momentet innehåller alltså två olika steg där det första handlar om att se mönstret genom att exempelvis förstå hur nästa figur i mönstret ska se ut. De allra flesta eleverna brukar lyckas med det och får i och med det motivation till att ge sig an det andra momentet, att formulera generella uttryck.

Ett enkelt första exempel på mönster som mina elever fått arbeta med är följande:

Skärmklipp 2016-01-20 22.39.06

De flesta av eleverna såg att mönstret ökar med fyra kvadrater för varje figur och att kvadraten i mitten finns med i alla figurer. Därför formulerade de uttrycket 4n+1. Det vanligaste resonemanget hos eleverna när de tog sig an det här mönstret löd ungefär:

eftersom ökningen för varje figur är 4 ska uttrycket börja med “4n” och därefter ska delen som finns med i alla figurer adderas”. Inga elever reflekterade över eller nämnde att “armarna av kvadrater” innehöll samma antal kvadrater som figurens nummer.

Jag presenterade därför följande mönster för eleverna:

Skärmklipp 2016-01-20 22.58.41

Återigen resonerade många av eleverna på samma sätt som vid förra mönstret. Eftersom mönstret ökade med två kuber för varje figur menade många inledningsvis att det generella uttrycket skulle skrivas som 2n vilket skulle adderas med kuben längst ned till höger. Här märkte många av eleverna att det inte kunde stämma vid en prövning när de applicerade uttrycket på figur 1 eftersom det finns en slags “förskjutning” i mönstret vilket var nytt för eleverna att ta hänsyn till. Nu var vi därför tvungna att diskutera vidare om vi kunde se något annat som kunde hjälpa oss att resonera oss fram till lösningen. Då började eleverna titta efter andra saker och snart såg flera elever att den horisontella raden med kuber längst ned motsvarade figurens nummer medan stapeln ovanpå motsvarade figurens nummer subtraherat med 1. På det sättet kunde eleverna sedan formulera uttrycket n+(n-1) vilket vi kunde förenkla till 2n-1.

Slutligen presenterade jag ett sista mönster som jag trodde skulle vålla större svårigheter för eleverna.

Skärmklipp 2016-01-20 22.16.16

Något som förvånade mig men som också gladde mig var att fler elever än vid förra mönstret direkt kunde resonera sig fram till att höjden på den horisontella rektangeln i mitten av varje figur motsvarade figurens nummer, att basen kunde uttryckas som figurens nummer adderat med två samt att det alltid fanns två kvadrater på sidorna av varje figur. Utifrån det resonemanget formulerade dessa elever direkt uttrycket n(n+2) + 2 vilket visserligen hade kunnat förenklas till n²+2n+2 men det hann vi inte göra under den här lektionen.

För vissa elever fungerar det bra att rita en tabell bra för att synliggöra mönster och utifrån det sedan formulera generella uttryck. Andra elever resonerar sig utifrån mönstret fram till uttrycket genom att direkt finna mönstret i t.ex. en bild.

 

Tips: Alla mönster ovan är hämtade från sidan http://www.visualpatterns.org som är en bra sida för matematiklärare att hämta färdiga mönster från.

Lämna en kommentar

  • (will not be published)