Introducera algebra

Var uppstod behovet av att använda variabler i matematik? Började man använda bokstäver (eller andra symboler) för att beteckna ett okänt tal eller för att beskriva ett samband? Eller kanske något helt annat? I vilken situation upptäcktes värdet av att använda symbolerna? Hur sker användningen idag? Detta är några av de frågor jag och en matematiklärarkollega ställde oss själva när vi planerade för att introducera området algebra i åk 7 detta läsår. På mellanstadiet har de flesta elever mött enkla ekvationer i någon mån och många har även provat att formulera enkla uttryck. Min erfarenhet är dock att få elever byggt upp säkerhet kring begrepp och metoder inom algebra innan de börjar årskurs 7. Normalt brukar vi på min skola introducera området med att undervisa om ekvationer med fokus på balansmetoden följt av att efter det fokusera på att formulera och förenkla uttryck samt sätta in värden i uttryck och sedan lösa problem med hjälp av ekvationer.

I år beslutade vi oss för att arbeta på ett sätt som i mångt och mycket börjar i en annan ände än vad vi brukar. Vi ville att eleverna skulle upptäcka att de utan vissa begrepp och metoder skulle tvingas göra ett jobbigt och hårt arbete för att på så sätt sedan få upptäcka och förstå värdet av nya viktiga matematiska metoder/begrepp som i sin tur förenklar arbetet. Vår förhoppning var att fler elever skulle få upp ögonen för hur matematiken kan användas samt att det finns ett motiv och ett behov som någon gång någonstans vuxit fram. 

 

Formulera uttryck och sätta in värden

Vi började med att undervisa om uttryck. Vi bad eleverna skissa en rektangel där ena sidan var 3 (längdenheter) längre än andra sidan. Vi bad också eleverna skriva ned en beräkning för omkretsen på sin rektangel. Sedan fick eleverna jämföra sina skisser och diskutera frågor som:

  • Har alla ritat samma rektangel?
  • Varför har vi ritat olika när alla fick samma uppgift?
  • Är det någon som har gjort fel?
  • Har alla rektanglar samma omkrets? Varför/varför inte?   

Efter den diskussionen bad vi eleverna rita alla rektanglar där ena sidan var tre (längdenheter) längre än den andra sidan. Många elever är lojala och sätter igång att rita ett stort antal medan andra protesterar och menar att det finns oändligt många och att det skulle ta oändligt länge att skissa upp. Det var denna jobbiga känsla vi ville åt så att eleverna skulle “känna” värdet av att beteckna sidorna med variabler. Eftersom de allra flesta av eleverna åtminstone stött på variabler tidigare benämnde vi sidorna enligt bilden nedan:


Eleverna fick återigen skriva en beräkning för omkretsen på rektangeln vilket nu blev en slags introduktion till begreppet uttryck och hur det hörde samman med den beräkning de gjort tidigare med värden. På så sätt hade vi både introducerat begreppen variabel och uttryck och också visat eleverna en situation där det kan vara motiverat att använda sig av dessa. Efter detta fick eleverna testa att sätta in olika värden för a och beräkna omkretsen för rektangeln. Vi började med enkla värden som eleverna lätt kunde behandla i huvudet för att sedan ersätta dessa med decimaltal där miniräknare underlättar arbetet. Slutligen lyfte vi upp diskussionen om det kommunikativt och/eller matematiskt spelar någon roll om vi uttrycker oss med eller utan parenteser när vi beskriver rektangelns omkrets (se nedan).

a = 2 cm

Omkretsen = 2 cm + 2 + 3 cm + 2 cm + 2 + 3 cm = 14 cm  eller

Omkretsen = 2 cm + (2 + 3) cm + 2 cm + (2 + 3) cm = 14 cm

Vårt nästa steg var att lyfta fram behovet av att kunna förenkla för eleverna. Genom att konstruera en månghörning (ungefär enligt figuren nedan) fick eleverna formulera ett uttryck för omkretsen som inte var lika lätt att hantera som det för rektangeln. Sedan ägnade vi stor del av lektionen till att låta eleverna sätta in olika värden i uttrycket och beräkna omkretsen (både heltal och decimaltal). Alla elever arbetade hårt med detta och några förenklade själva uttrycket utan att ha fått undervisning om det men vi bad dessa att hålla på lösningen en liten extra stund, allt för att eleverna skulle få kämpa lite (observera att det här kan vara en utmärkt övning i att öva prioriteringsreglerna etc.). När alla kämpat med dessa övningar en tid frågade en elev om det inte fanns något enklare sätt, en genväg. Då visade vi eleverna hur man kunde förenkla uttryck och att det verkligen förenklade arbetet när man sedan skulle sätta in värden för vilka omkretsen skulle beräknas.


Efter dessa övningar gick vi över till att arbeta med problemlösning. Vi ville genom dessa introducera ekvationslösning som en strategi för att lösa problem. Eleverna fick i turordning arbeta med följande två problem:

Som synes blir det andra problemet “otympligt” att arbeta med om man endast gissar/provar sig fram i tabellform som många elever gör innan de arbetat med algebra.

Först efter alla dessa övningar fick eleverna undervisning i hur man löser ekvationer med den sk. “balansmetoden”.  Vår upplevelse är att det gått minst lika bra att introducera avsnittet algebra på detta sätt och i denna ordning som tidigare när vi inledde med balansmetoden för att senare bygga på med undervisning om hur man formulerar begrepp. Om det ena sättet är bättre än det andra låter jag vara osagt men det arbete som vi gjorde det här läsåret kändes mer naturligt för både oss lärare och eleverna, kanske för att vi försökt utgå från att belysa det behov som någon gång uppstått genom historien.

Men hur var det nu med frågorna jag ställde inledningsvis i texten om den historiska aspekten av algebra? På länken nedan finns en liten sammanställning över de tidigaste kända exemplen på användning av symboler för variabler (tack Mattias Danielsson för länk).

http://jeff560.tripod.com/variables.html

Kommentarer (1)

Lämna en kommentar

  • (will not be published)