Helklassundervisning om matematiska begrepp

Ett matematiskt begrepp kan vara ett matematiskt objekt, som t ex cirkel, en process, som t ex subtraktion, eller en egenskap, som t ex omkrets. För att beskriva ett begrepp måste det gestaltas i någon form av representation. Vilken representation som är lämplig beror på vad man ska ha den till och också vilka förkunskaper man har (http://ncm.gu.se/2)

Skolämnet matematik är uppbyggt av en mängd olika begrepp som eleverna behöver kunna, begrepp som i sin tur hör ihop och bygger på varandra. Varje matematiskt begrepp har en definition och kan representeras på olika sätt vilket eleverna behöver lära sig att förstå och hantera. I och med att det är så många begrepp eleverna behöver kunskap om och att vissa begrepp föregår andra krävs en strukturerad undervisning där eleverna leds av en lärare. Ytlig kunskap om ett nytt begrepp kan många av eleverna ofta tillgodogöra sig enskilt genom att läsa sig till det eller titta på en flippad förklaring men att fördjupa kunskapen (t.ex. få en ökad förståelse för begreppets olika representationer och kunskap om hur det nya begreppets definition relaterar till andra begrepp) kräver i de allra flesta fall en strukturerad undervisning om begreppets olika aspekter. Här passar enligt mig ett gemensamt utredande arbete där missuppfattningar kommer upp till ytan och där olika förklaringar och representationer tillåts diskuteras i korta par- grupp- och helklassdiskussioner. Utöver det behöver naturligtvis eleverna också en hel del enskild träning i att använda begreppen.

Det är när läraren genom undervisningen lyckas skapa friktion i elevens tänkande mellan elevens tidigare kunskap (förförståelse) och det nya begreppet som kunskapen fördjupas. Eleven tvingas reflektera över begreppets definition och representation samt relation till andra begrepp. Det kan t.ex. ske när eleverna tvingas motivera sin förklaring av vad ett begrepp är (och inte är) eller när man diskuterar kända missuppfattningar kring begrepp. Detta kan också ske genom undervisningen i problemlösning. Vägarna till begreppen i matematik är många i och med att hela ämnet är uppbyggt av dem. Utöver diskussion behöver eleverna också träna på att använda de olika representationerna och att växla mellan dessa i olika situationer. Ibland kan det tyckas märkligt att eleverna ska arbeta med en viss mängd uppgifter av samma typ när de redan visat kunskaper kring ett begrepp men syftet med det kan vara t.ex. att befästa eller fördjupa. Det kan ske genom välkonstruerade uppgifter som sätter ljus på begreppets olika aspekter.

Pyramid

Källa: https://sv.wikipedia.org/wiki/Pyramid_(geometri)

I mitt klassrum arbetar eleverna, oavsett kunskapsnivå, nästan uteslutande med samma begrepp på lektionerna (även om det finns undantag då och då). Det innebär att eleverna också, oavsett kunskapsnivå, alltid har en möjlighet att lära sig ett begrepp, både ytligt och på djupet samt få beröra begreppet både konkret och abstrakt, dvs. komma i kontakt med ett begrepps olika sidor.

Ett bra exempel på detta är när jag förra läsåret arbetade i åk 7 med triangelns vinkelsumma. Att lära sig att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader är i sig kanske inte så svårt. Eleven kan helt enkelt lära sig det som ett slags fakta. De flesta av eleverna kommer också ihåg det. Men man kan också fördjupa kunskapen genom att undervisa om hur man i matematiken kan visa att vinkelsumman alltid är just 180 grader. En klassisk övning vi gjorde var att först konkret låta eleverna klippa av hörnen (vinklarna) på en egenkonstruerad triangel, pussla ihop dem för att sedan tydligt se att vinklarna tillsammans är 180 grader. Den övningen kan givetvis också genomföras med andra polygoner. Men som jag då sa till eleverna: hur kan vi veta att det vi klippt är tillräckligt precist? Läraren kan då fördjupa undervisningen till att också innefatta begrepp som t.ex. rak vinkel, alternatvinklar och andra begrepp  som behövs för att matematiskt kunna bevisa triangelns vinkelsumma, dvs. andra begrepp med egna definitioner som begreppet vinkelsumma bygger på. Vi har därmed i undervisningen rört oss mellan det konkreta och abstrakta i någon mån. På så sätt kan man också lyfta det faktum att elevernas kunskaper om begrepp kan bedömas utifrån hur väl en elev faktiskt förstår begrepp på djupet. En elev som enbart vet att vinkelsumman är 180 grader men inte kan motivera det kan därmed anses kunna mindre om begreppet än den som också kan bevisa varför en triangels vinkelsumma alltid är 180 grader. Den senare eleven visar också större kunskap om sambandet mellan olika begrepp genom att kunna relatera begreppets innebörd till andra begrepp på en högre nivå.

Jag säger alltid till mina elever att det inte är viktigast hur många uppgifter de gör i boken utan att det i det sammanhanget är viktigt att de kan/behärskar metoder och begrepp. Men jag är också tydlig med att kunskapen om begrepp (och för den delen också metoder) sannolikt blir bättre om eleven använt begreppet (eller metoden) många gånger, med flera representationer, i många sammanhang och visar eleverna vilka uppgifter i boken (eller andra arbetsuppgifter) som kan hjälpa dem uppnå den säkerheten. Samtidigt poängterar jag alltid att det är bättre att ha gjort en uppgift ordentligt än tre slarvigt. Jag försöker också alltid hjälpa eleverna planera vad de behöver ha gjort och när det behöver vara klart.

Det ska också sägas att jag inte når alla elever alla gånger. Ibland lyckas jag inte få eleverna att arbeta med tillräckligt många uppgifter för att begreppet ska bli ordentligt befäst. Ibland lyckas jag inte undervisa tillräckligt begripligt om begreppet. Ibland är jag för konkret för att eleverna ska kunna lära sig ett begrepp på djupet och ibland för abstrakt och då blir undervisningen obegriplig för eleverna. Men när jag upptäcker detta försöker jag justera min undervisning på olika sätt beroende på vad det handlar om för det ska bli bättre. Min syn på individualiserad begreppsträning i matematik är att den kan nås genom att eleven utmanas att bl.a kunna använda begrepp i många olika situationer, relatera ett begrepp till flera andra begrepp, visa på flera olika representationer av begreppet och att göra det med säkerhet och precision. Min poäng med det här inlägget är att det kan göras inom ramen för en gemensam helklassundervisning.

Lämna en kommentar

  • (will not be published)