Vad är ett matematiskt resonemang egentligen?

Begreppet resonemang fanns inte med i de tidigare kursplanerna för matematikämnet i grundskolan åtminstone inte explicit uttryckt. Det var först i och med LGR11 matematiska resonemang skrevs fram som en ämnesspecifik förmåga för eleverna att utveckla och en kunskapskvalitet för oss lärare att bedöma. Men vad karaktäriserar egentligen ett matematiskt resonemang och vilka olika aspekter av ett matematiskt resonemang finns att ta hänsyn till? Hur kan vi lärare arbeta för att utveckla elevernas förmåga att resonera matematiskt?

En bok som jag kan rekommendera alla lärare att läsa och som på djupet förklarar olika aspekter av de framskrivna ämnesspecifika förmågor som uttrycks i LGR11 med tydliga exempel är Anette Jahnkes “Skolan och förskolans matematik – kunskapssyn och praktik”.

Jahnke beskriver i boken hur man kan se resonemang i matematik på två olika sätt. Dels kan man presentera ett korrekt färdigt resonemang om något, såsom formella bevis med logiska slutsatser eller informella förklaringar.

Resonemang kan ses som det som binder ihop det som betraktas som sant genom att påståenden som vi redan har övertygat oss om är sanna används i resonemang för att etablera nya sanningar. Vi hoppar från tuva till tuva av sanningar.”

Men man kan också använda resonemang som ett medel för att nå slutsatser. Jahnke menar att:

“Ett bredare perspektiv ger att resonemang ingår i skapande och intuitiv verksamhet och involverar därmed till exempel att prövningar, ifrågasättande och gissningar.”

Men vilken typ av resonemang ska eleverna utveckla? I kursplanen för matematik i grundskolan står att eleverna ska utveckla sin förmåga att föra, följa och värdera matematiska resonemang om tillvägagångssätt, rimlighet och om hur begrepp relaterar till varandra och vi lärare ska också bedöma hur väl eleverna kan det. Men vad innebär detta i praktiken?

Kvalitet i ett matematiskt resonemang handlar inte om att eleven är bra på att förklara hur och varför eleven har tänkt som hen har tänkt utan varför det är som det är eller varför slutsatsen blir som den blir utifrån det matematiska innehållet (t.ex. när en elev resonerar och motiverar samband mellan begrepp eller om varför en lösning av ett problem är korrekt). Vi är alltså som lärare i fallet om bedömning av kvalitet i resonemang intresserade av hur väl eleven motiverar sina matematiska slutsatser och inte hur eleven ser på sig själv och sin process vid problemlösning eller hur mycket eleven pratar/skriver. Det är hur väl eleven lyckas “snäva in” sin motivering med hjälp av logiska slutledningar och matematikens språk som är kvalitetsaspekten. Att kunna uttrycka sig så specifikt som möjligt ställer därför också stora krav på den begreppsliga kunskapen.

Att kunna följa ett resonemang handlar om att kunna tolka andras resonemang, vilket i någon mån handlar om att språkligt (matematiskt/logiskt) kunna delta i en gemenskap med matematikens innehåll i fokus. När eleverna värderar ett resonemang kan de antingen aktivt hålla med eller ta avstånd från till exempel en motivering eller förklaring av det matematiska innehållet utifrån sin egna rådande kunskap att föra och följa  resonemang. Med anledning av ovanstående är det viktigt att vi lärare reflekterar över vilka frågor vi lärare ställer till eleverna så att de får utveckla just matematiska resonemang och inte bara vilka resonemang som helst.

I ett tidigare inlägg har jag beskrivit hur vi arbetar med problemlösning genom något som kommit att kallas “Matsalsmatte”. Oftast har vårt fokus legat på att utveckla elevernas förmåga att resonera och lösa problem på de lektionerna. Vår uppgift som lärare har varit och är att stimulera eleverna till att visa och utveckla sina matematiska resonemang antingen muntligt eller skriftligt genom att ställa frågor kring problemet de löser/har löst.

Några frågor eller påståenden som passar utmärkt för detta ändamål är:

  • förklara varför det är så!
  • hur kan du veta det?
  • kan du dra någon slutsats utifrån det?
  • hur vet du att det här är rätt?
  • varför är svaret 32 kr?
  • bevisa att lösningen är korrekt!
  • är/blir det alltid så?

Något jag reflekterat över senaste veckorna är att elever som har en utvecklad problemlösningsförmåga förmodligen per automatik för egna utvecklade mentala resonemang med sig själv när de löser matematiska problem. Samtidigt tror jag att vi lärare med hjälp av frågor som de ovan kan  hjälpa eleverna att i tal och skrift utveckla sin förmåga att korrekt motivera och bevisa (i varierande formell grad) varför lösningen blir som den blir, dvs. att resonera matematiskt.

Litteratur:

Jahnke, Anette. Skolan och förskolans matematik- kunskapssyn och praktik (2016). Lund: Studentlitteratur.

Lgr 11. Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket.

Rika matematiska problem

Problemlösning i matematik är något som kan vara svårt att sätta fingret på och precisera vad det är och än svårare att förklara för elever vid ett enstaka tillfälle. Det är snarare genom problemlösningsaktiviteter över tid eleverna får förståelse för begreppets innebörd och får syn på problemlösningens många ansikten.

Problemlösning innebär att lösa ett problem eller en uppgift där de begrepp, metoder och strategier som ska/bör/kan användas inte är givet på förhand för eleverna. Givetvis är det bra ju mer välfylld elevernas verktygslåda med begrepp, strategier och metoder är inför problemlösningen men det räcker inte. Eleverna måste övas i att välja och använda olika begrepp och strategier i olika sammanhang där det alltså inte är känt på förhand. Det är också i det här sammanhanget eleverna tillåts vara kreativa genom att t.ex. finna för dem nya sätt att kombinera begrepp och metoder de redan behärskar i sina strategier för att lösa problem. Det går inte att tolka grundskolans kursplan på annat sätt än att just problemlösning har en särställning i matematikämnet. Problemlösning är enligt kursplanen i sig en förmåga att utveckla men också ett centralt innehåll genom vilket de övriga matematikkunskaperna kan utvecklas. Problemlösning ingår också i kunskapskraven. 

Men hur kan man undervisa en hel klass i problemlösning då eleverna har så vitt skilda kunskaper om begrepp och metoder och även har olika utvecklat matematiskt språk? Ett sätt är att använda sig av rika matematiska problem som alla elever kan jobba med samtidigt utifrån sin förförståelse och som låter eleverna få upp sina ögon för nya övergripande eller specifika matematiska idéer.

I Eva Taflins avhandling “Matematikproblem i skolan – för att skapa tillfällen till lärande” finns en beskrivning av sju kriterier som behöver vara uppfyllda för att ett problem ska kunna betraktas vara ett matematiskt rikt problem:

  • Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
  • Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
  • Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
  • Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
  • Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
  • Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
  • Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

Ett exempel på hur ett rikt matematiskt problem kan se ut och som är en klassisk uppgift att arbeta med på mellan- och högstadiet i samband med undervisning om mönster är “Stenplattorna”. Uppgiften finns i många olika varianter och hittas också i de flesta läromedel i någon form. Det som karaktäriserar problemet är att de första deluppgifterna i problemet har en ganska konkret karaktär. Eleverna kan rita en bild eller en tabell för att lösa problemet eller få extra stöttning av konkret material för att själva bygga plattläggningen och utifrån det upptäcka/se mönster. De senare delarna av problemet rör sig mer mot det abstrakta och ställer därmed högre krav på eleverna att finna lösningar som är generellt applicerbara (t.ex. algebraiska lösningar). Tack vare att problemet är mångfacetterat och att olika lösningsstrategier kan användas skapas goda möjligheter för helklassdiskussion där strategiernas förtjänster och begränsningar kan diskuteras, värderas och relateras till problemet. Problemet går också att förenkla och försvåra genom att man som lärare förändrar plattläggningens utseende. 

Något som är extra viktigt att tänka på och ägna tid åt när man arbetar med problemlösning i helklass är att se till att alla elever har förstått vad problemet går ut på innan de ges tillfälle att börja arbeta. Först då eventuella missuppfattningar om vad problemet handlar om retts ut finns möjlighet för eleverna att göra upptäckter genom problemlösningen. Om eleverna inte förstår problemet riskerar de bärande matematiska idéerna som problemet ska lyfta fram i rampljuset att istället hamna i skuggan.

När det gäller grundskolans matematik finns det några strategier (vilka också nämns i Taflins avhandling) som elever kan anamma. Det kan tyvärr också vara lätt att tro att dessa strategier växer fram av sig själv hos eleverna men faktum är att lärarens uppgift måste vara att ställa eleverna inför problem där deras tankar utmanas och där de får utveckla nya strategier istället för att bli begränsade till enbart en strategi. De olika strategierna kräver var och en olika mycket av eleverna vad gäller abstraktion, både som strategi i sig men också i relation till problemformuleringen och problemets karaktär. 

  • välja en eller flera operationer att arbeta med
  • rita bilder
  • söka mönster
  • arbeta baklänges
  • göra en lista
  • göra en tabell, ett diagram eller en graf
  • gissa och pröva
  • lösa ett enklare problem
  • använda laborativa material eller modeller
  • ställa upp en ekvation eller en formel (algebraisk lösningsstrategi)

Personligen har jag på senare tid lagt mer fokus på att ägna ordentligt med tid att diskutera den algebraiska lösningsstrategin med eleverna, oavsett vilken kunskapsnivå de ligger på i matematikämnet. I problemet med stenplattorna har jag upplevt att den diskussionen kommer naturligt då elevernas resonemang om antalet stenplattor i figur 100 eller figur 1000 blir en brobyggare mellan det konkreta och det abstrakta.

Här har jag gjort en liten illustration med de olika strategierna som man kan hänga upp i klassrummet eller ge eleverna som stöttning när de övar problemlösning. Givetvis räcker det inte att ge eleverna texten i sig utan varje strategi behöver beröras på djupet i undervisningen genom smarta val av problemlösande aktiviteter. I det sammanhanget tror jag rika problem kan vara ett utmärkt sätt att inkludera alla elever i undervisningen.

Klicka här för att ladda ned bilden nedan som pdf-fil.

problemlosningsstrategier

.

Gratis resurser till matematikundervisningen

Det finns en uppsjö av verktyg och material för matematikundervisningen på internet. Kvaliteten på dem oerhört varierande och ska jag vara helt ärlig finns det mycket som faktiskt är skräp. Jag påminner mig om min egen matematiklärare på högstadiet som 1994 när jag gick i åttan sa:

Internet är som en stor affär som du går in i för att handla en liter mjölk men du kommer ut med en rosa slips runt huvudet och har ingen aning om varför.

Med det sagt kan det ibland vara svårt att navigera bland det stora utbud som finns på nätet och frustrationen kan också vara stor då så mycket av materialet man stöter på faktiskt inte alls håller måttet. Jag har här listat några resurser som jag tycker dels håller en bra kvalitet och som har utvecklingspotential. Resurserna ger/kan ge ett mervärde före, på eller efter lektionerna utöver de böcker, uppgifter och aktiviteter jag också använder i min undervisning, något jag tycker är viktigt men minst lika viktigt att komma ihåg är att resurserna i sig aldrig kan ersätta lärarens undervisning. Det är hur läraren använder resurserna som är avgörande.

 

Geogebra  

Geogebra fungerar som en interaktiv yta där man kan skapa undervisningsrelaterat material inom områden som algebra, geometri och grafritning. Det finns dessutom oändligt med lättillgängligt färdigt material skapat av lärare för lärare och elever att laborera med eller utveckla vidare. Dessutom finns det en Facebookgrupp med support för den som behöver hjälp med såväl tekniska som pedagogiska frågor här

Visualpatterns

Visualpatterns handlar om mönster precis som man hör på namnet. Det finns flera hundra olika bilder på mönster på den här sidan som alla följer samma struktur. Eleverna får veta hur mönstret växer i steg 1, 2 och 3 samt steg 43 och ska sedan undersöka mönstren för att kunna skriva generella uttryck. Ofta finns det enbart få exempel för eleverna i matematikböckerna för att öva detta och då är dessa bilder ett bra komplement.

Desmos

Desmos är både en grafritande räknare och en yta där lärare kan planera lektioner eller delar av lektioner digitalt för sina elever. Det finns också interaktiva övningar färdiga att använda med elever, främst när det gäller att undersöka funktioner/grafer av olika slag. Jag har skrivit ett separat inlägg om några av Desmos funktioner här.

Graphingstories

Graphingstories är en sida som innehåller kort videosnuttar som illustrerar något som också kan uttryckas genom en graf. Elevernas uppgift är att titta på videoklippet och sedan öva på att skissa grafer och namnge axlarna (och skalan) korrekt.

Resurscenter för matematik, naturvetenskap och teknik i skolan

Sidan är en mötesplats för lärare som undervisar i svenska skolor i Finland. Här finns mycket matnyttigt och inte minst material till undervisningen i matematik fördelat på olika stadier. Matteva är en välkänd resurs för färdighetsträning som också länkas till på sidan för resurscentret.

Youtube

På youtube finns både bra och mindre bra exempel på genomgångar i matematik. När det gäller gymnasiematematiken har nog ingen undgått att höra talas om Daniel Barker och hans videogenomgångar som finns tillgängliga och uppdelade i spellistor här. För högstadiets del har en lärare som heter Tobias Kroon och arbetar i Varberg gjort ett bra jobb och spelat in videogenomgångar. Jag har med hans tillåtelse strukturerat upp dessa klipp på sidan matematik789.wordpress.com. Klippen finns naturligtvis också här i en spellista på Youtube.

Värdeorden i kunskapskraven- vem tar ansvar för den undervisningspraktik vi skapat?

För drygt fem år sedan infördes nya kursplaner och ämnesplaner i grundskolan och gymnasieskolan. En ny betygsskala började användas och lärare runt om i Sverige fick i uppdrag att i praktik omsätta reformerna i praktik genom sin planering, undervisning, bedömning, dokumentation och betygsättning. Ett syfte med flera av reformerna var att allt skulle bli tydligare för elever, föräldrar och lärare. När reformerna utvärderades (av Skolverket) visade det sig att en stor majoritet av lärarna upplever stora problem med att tolka kunskapskravens formuleringar, i synnerhet de så kallade värdeorden till vilka kvaliteten på kunskap ska relateras till samt att kommunicera detta till eleverna.

Hyllmeter med stödmaterial i form av kommentarsmaterial, allmänna råd för bedömning och betygssättning samt bedömningsstöd har producerats och publicerats för att stötta lärarna. Men det är ungefär som att försöka sätta ett plåster på ett benbrott? Varför tillåter vi att de relativa och abstrakta värdeorden får styra undervisnings- och bedömningspraktiken på ett sådant sätt att det behövs en för de flesta lärare oöversiktlig manual bara för att förstå hur och var du som lärare ska sätta elevernas kunskap i relation till de olika kraven vid betygsättning? Varför är vi så naiva att vi inte förstår att betygsättningspraktiken på det viset oundvikligen i för hög grad kommer blandas ihop med undervisningspraktiken? Är inte undervisning det centrala i läraruppdraget och det viktigaste att eleverna faktiskt lär sig något?

Samtidigt som Skolverket har vetskap om de problem värdeorden åsamkat praktiken står de ganska handfallna. Inte orkar väl lärarna med helt nya kunskapskrav igen? Vilken åtgärd är egentligen tillräcklig för att styra lärarna och undervisningen i rätt riktning? Ett uppdaterat stödmaterial för hur vi ska se på betygen B och D kom i dagarna men är ett exempel på åtgärd som förmodligen inte kommer få någon som helst effekt på hur det ser ut i lärarnas praktik generellt sett. Jag tror att Skolverket helt enkelt inte vet vad man ska göra nu i frågan.

skarmklipp-2016-10-31-13-32-48

Uppdraget till Skolverket var inför LGR11 att formulera tydliga kunskapskrav som lärare, elever och föräldrar skulle förstå. Redan där är tanken från politiskt håll naiv då betygsättning oundvikligen sammanblandas med undervisning, något som Anders Jönsson (forskare vid högskolan i Kristianstad) beskriver i ett blogginlägg.

“Dagens kunskapskrav är därmed en sorts hybrid mellan bedömnings- och betygsättningskriterier, vilket dessutom har lett till att många lärare försöker bedöma enskilda elevprestationer utifrån kunskapskraven.”

“För att stödja en likvärdig betygsättning, skulle de kvaliteter, och den progression, som uttrycks i kunskapskraven behöva vara kongruent med lärarnas ämneskunskaper och -språk.”

Precis som Jönsson skriver i sin text är det oerhört märkligt att lärare i Sverige inte får en gedigen utbildning i betygsättning om vi faktiskt värnar om rättssäkerhet och likvärdighet.

En viktig fråga för mig är fortfarande: vem tänker ta ansvar för att ta itu med problemet som finns med värdeorden? Jag har inte under de senaste fem åren hört någon politiker (som gav uppdraget till Skolverket att skriva tydliga kunskapskrav) ens kommentera, reflektera eller analysera hur det gick med reformen och de nya kunskapskraven än mindre kommentera Skolverkets egen utvärdering där problemen med värdeorden tydligt framgår. Kanske är det en känslig och svår fråga men det är dags att ta ansvar för den praktik som skapats och faktiskt bry sig.

För ett år sedan skrev jag inlägget ”Kunskapkravens värdeord- läroplanens svarta får”. Inte mycket har hänt sedan dess och jag tycker fortfarande att det är dags att formulera om kunskapskraven utan abstrakta generella värdeord och istället använda ämnesspecifikt språk i respektive kursplan. När lärarna ser att ämnets språk går som en röd linje genom kunskapkraven kan en större del av tiden användas till att utveckla undervisningen och låta det forma praktiken istället för värdeorden. Om vi inte tar itu med värdeordens problematik kommer de olika åtgärderna fortsatt att handla om att behandla benbrott med plåster.

 

Matsalsmatte- undervisning med fokus på problemlösning

I slutet av förra läsåret fick några av mina kollegor och jag en idé om hur vi kunde ta tillvara på den samlade förkunskap som finns hos eleverna i nuvarande årskurs 9 och utveckla deras matematiska kunskaper genom problemlösning. Där föddes “matsalsmatte”. Vi ville samla tre undervisningsgrupper och genomföra en gemensam lektion men fick helt enkelt inte plats med alla elever i något klassrum. Den enda lokal vi kunde använda var  matsalen som blev den plats där vi genomförde den första gemensamma lektionen med ungefär 60-65 elever och tre lärare.

I matsalen finns en scen som annars endast används vid avslutningar och föräldramöten med tillhörande projektor och ljudanläggning som vi nu fått användning för även i matematikundervisningen. Vi har ingen förbestämd plan för när vi ska träffas där utan bestämmer någon vecka innan efter vilket behov vi ser att eleverna har.

Ibland tycker vi att vår undervisning ett tag blivit för teoretisk och behöver brytas av med uppgifter av mer praktisk karaktär. Ibland är syftet att eleverna ska få större möjligheter att resonera och kommunicera med varandra vilket för en del elever blir mer på allvar när de får träffa fler och andra elever i ett annat sammanhang än i det vanliga klassrummet. Ibland är vi ute efter att eleverna ska få utveckla sin skriftliga eller muntliga kommunikation i ämnet.

Inledningsvis delar vi alltid in eleverna i grupper om tre elever. Sedan presenterar vi ett (ibland två) matematiska problem för de cirka 20 olika grupperna att lösa. Gruppernas uppgift är sedan dels att lösa problemet och sedan att eleverna i gruppen ska kunna kommunicera lösningen (som oftast innehåller specifika metoder och begrepp).

Problemen eleverna arbetat med har bland annat handlat om att:

  • hantera och jämföra tal i bråkform
  • göra modeller över befolkningsökningen i Sverige och beräkna hur stor folkmängd Sverige har år 2050 och 2100 utifrån med utgångspunkt i befintlig statistik (ladda ned en enkel pdf med uppgiften här)
  • jämföra volym på cylindrar
  • analysera linjära funktioner

Denna vecka fick eleverna arbeta med ett problem som handlade om cylinderns volym. Vi hade kunnat presentera problemet på följande sätt:

skarmklipp-2016-10-15-12-37-22

Den här gången valde vi istället att presentera problemet “live”, men problemets karaktär och innehåll är givetvis fortfarande detsamma. Vi hade två olika glas med de skillnader som illustreras på bilden ovan. Inspirerade av ett problem konstruerat av Dan Meyer berättade vi kort för eleverna om hur många i vår ålder när vi var små fick dela 33 cl läsk med vårt syskon eller vår kamrat och att tågordningen var att den som hällde läsken i glasen inte fick välja glas. Därefter försökte jag fördela läsken så jämnt jag kunde mellan de två glasen. Elevernas uppgift blev naturligtvis att i sina grupper lista ut vilket glas som innehöll mest läsk med hjälp av matematiska beräkningar.

Först fick eleverna diskutera i sina grupper och sedan skicka fram en representant ifall de hade några frågor. Till samtliga grupper avslöjade vi, när grupperna frågade efter det, att diametern på det smala glaset var 5,7 cm och på det breda glaset 10 cm. Därefter fick eleverna med hjälp av tumstock mäta och notera de olika mått de ansåg sig behöva.

Vi lärare rörde oss i matsalen mellan grupperna och ställde utmanande frågor till eleverna. Det kunde handla om allt från formeln för cirkelns area till om den millimetertjocka botten på det stora glaset spelade någon roll för lösningen av uppgiften eller huruvida mätningarna gjorts korrekt och hur eleverna i skrift kommunicerat detta. Ofta hade eleverna i sina beräkningar kommit fram till att glasen tillsammans innehöll mer än 33 cl läsk och då frågade vi givetvis var i deras beräkningar det blivit fel vilket ledde till att eleverna kontrollmätte och beräknade cylinderns (läskens) volym ytterligare en gång. På så sätt säkerställde vi att vi nådde målet med lektionen vilket var att just färdighetsträna beräkning av cylinderns volym men denna gång genom en gemensam problemlösningsuppgift.

När det var dags att avsluta lektionen frågade vi vilka grupper som ansåg att det smala glaset respektive breda glaset hade mest läsk. Utan att ge eleverna det ”rätta svaret” avslutade vi sedan för att diskussionerna eventuellt för några elever skulle kunna fortsätta på elevernas rast. Detta är något vi kan inleda nästa matematiklektion med.

Några saker vi lärare insett när vi reflekterat efter den här typen av lektioner (45 -50 minuter långa) är att alla elever:

  • samarbetar med vem som helst kring ett matematiskt problem, oavsett vem den personen är (vi har inte hört ett enda klagomål på den slumpmässiga gruppindelningen och den verkar inte heller ha hämmat eleverna på något sätt som vi ser det)  
  • lägger stort fokus och engagemang på att lösa problemen tillsammans 
  • hjälps åt för att både lösa problemen och att utveckla sin begrepps- och metodförståelse genom kommunikation och resonemang, viljan hos eleverna att fråga om sådant de inte förstår är stor (dvs. tränas i läroplanens samtliga formulerade förmågor)
  • har utvecklat sitt mod att gissa/prova inledningsvis för att sedan “snäva in” och precisera sina lösningar

LLL- reformen på alla lärares läppar och varför lärare rör på sig

Vilka skäl ligger bakom att någon slutar arbeta som lärare? Givetvis varierar skälen från idivid till individ men jag tror att det allt som oftast bottnar i ett av följande tre huvudskäl:

Dålig lön

Dålig arbetsmiljö

Detaljstyrning av arbetet, dvs. inkräktande på den kreativa undervisningsprocessen (planering, genomförande av undervisningen samt uppföljning vilket givetvis i förlängningen även kan bli en arbetsmiljöfråga).

Lönen för lärare har släpat efter under många år. Idag börjar en del lärare ha en skälig lön för sitt arbete. Problemet är att jag skriver en del. Alla lärare borde ha en skälig lön. Det måste löna sig att ta studielån för att läsa till lärare och sedan ägna ett helt yrkesliv till det.

Arbetsmiljön är tuff på många skolor, fysiskt men kanske framförallt psykosocialt. Nu arbetar jag på en skola med relativt bra arbetsmiljö men jag vet att olikheterna är stora mellan skolor. Jag har sett det med egna ögon, provat på det själv och hört otaliga lärare vittna om det. Alla lärare borde ha en trivsam arbetsmiljö för att arbetet ska bli hållbart över tid. En tuff arbetsdag klarar alla. En för tuff termin är oacceptabel för alla.

När det gäller den pedagogiska friheten har vi lärare givetvis en läroplan att förhålla oss till (som vi ska förhålla oss till) men även huvudmän och chefer på olika nivåer har idéer om skolan ska styras för förbättrade resultat, inte sällan genom exempelvis krav på dokumentation genom förenklade mätverktyg som stjäl dyrbar tid men som samtidigt till synes effektiviserar lärandeprocessen för att den ekonomiska ramen ska gå ihop. Den kreativa planerings-, reflektions- och återkopplande process som samtidigt kan vara relativt tidskrävande värdesätts inte tillräckligt. Möjligheten till kreativ lektionsplanering finns givetvis på vissa skolor. Alla lärare borde ha det!

I svensk skola är rörligheten bland lärare numera stor. Många lärare byter jobb för att förbättra något av ovanstående villkor. En hel del slutar arbeta som lärare och börjar arbeta med något annat. Vi vet samtidigt av erfarenhet att många lärarbyten sällan gynnar eleverna. Rektorer vittnar numera om att det blir allt svårare att rekrytera behörig personal, för att inte tala om lärarvikarier. Det är idag inte ovanligt att pensionärer hoppar in och arbetar i skolan då det saknas lärare. Mitt i denna kris där det är vanligare än någonsin att lärare byter arbete eller slutar sjösätts två reformer som jag upplever än mer späder på rörligheten hos lärare, förstelärarreformen och lärarlönelyftet.

money-1013992_1920

Jag tror aldrig vi kan eller ska tacka nej till pengar som går in i skolan, det vore dumt. Däremot måste vi tala om vad som händer med skolan när reformer sjösätts. Om vi vill att marknadskrafterna fritt ska få reglera var lärare jobbar och om vi vill börja tala om bra och dåliga skolor ska vi nog fortsätta på den inslagna vägen. Om vi hellre vill att alla skolor ska vara bra och att lärare på allvar ska kunna arbeta kollegialt med gedigna ämnesdiskussioner behöver vi reformer som gynnar alla lärare. Hade det sett ut på ett annat sätt idag med rimliga löner för alla lärare och god arbetsmiljö på arbetsplatserna hade kanske effekterna av förstelärarreformen och lärarlönelyftet sett annorlunda ut. Nu upplever många lärare att lärarkåren delas in i a- och b-lag vilket givetvis inte gynnar samarbetet oavsett reformens initiala intention. En upplevelse är just vad någon upplever, det är värt att ta hänsyn till. Det kan inte ha undgått vare sig politiker eller någon annan att förstelärarreformen skapade denna diskussion inom lärarkåren, där jag tror orsaken framförallt återfinns i de luddiga kriterierna för vad som ska utmärka en förstelärare. Dessutom har urvalsprocessen gått till på lika många olika sätt som det finns kommuner vilket minskat reformens legitimitet bland lärarkåren. Några kommuner lät till och med bli att söka pengarna.

Med det i bagaget och med vetskapen om att rörligheten i en tid med lärarbrist har ökat sjösätts från politiskt håll lärarlönelyftet som ger en del lärare högre lön medan andra blir utan satsningen. Jag tror inte det finns en skola i Sverige där lärare inte funderar om just jag är den som får eller som blir utan. Jag förstår i det sammanhanget att många lärare ser sig om efter en ny arbetsplats när de nekas lärarlönelyftet då det idag är det bästa (läs: enda) sättet att förhandla upp sin lön.

Varför inte se till att alla lärare har en rimlig lön för att dels öka yrkets attraktivitet och få lärare att stanna kvar? Då kan lärare som t.ex. har ämnesansvar eller annat uppdrag få ett lönetillägg för det utökade ansvaret?

Varför inte erbjuda högre lön till lärare som väljer att arbeta i skolor med större utmaningar genom att styra fördelningen av de ekonomiska medlen till just de områden som behöver det som mest och låta alla skolor vara bra?

Varför inte låta erfarenhet löna sig så att lärare arbetar som just lärare hela sina yrkesliv och att det också syns på lönen?

Varför inte arbeta från politiskt håll för minskad rörlighet bland lärare så att rektorerna genom förutsägbarhet kan planera sina verksamheter, med elevernas behov i centrum? Lärare ska inte behöva byta arbetsplats för att få en bra lön och bra arbetsmiljö.

Varför inte arbeta för att alla lärare ska uppleva en kreativ frihet under ett stort ansvar i sitt arbete? En upplevelse är viktig.

Varför inte se till att alla lärare, oavsett vilka individuella förutsättningar de har, orkar ett helt yrkesliv?

Samtidigt vill jag poängtera att när nu läget ser ut som det gör kommer i alla fall jag se till att vara bland de första som gratulerar kollegor som utsetts till förstelärare. Jag kommer också själv söka förstelärartjänster och hoppas på lärarlönelyft. Jag vägrar låta en politisk reform skapa ett helvetesgap mellan mig och kollegorna utan kommer själv fortsätta göra mitt bästa på arbetsplats i samverkan och genom pedagogiska diskussioner med kollegorna. Det hindrar mig dock inte att se på effekterna av reformerna med kritiska ögon och tycka till då och då.

Att undervisa om talsystem

I både syftestexten och det centrala innehållet i kursplanen för grundskolans matematik står det skrivet att undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla kunskaper om historiska sammanhang där matematiska begrepp och metoder har utvecklats. Ett sätt att göra det är att utgå från den röda tråden när det gäller talsystem som återfinns i det centrala innehållet i kursplanen och undervisa om det. I lågstadiet är det säkerligen intressant för eleverna att beröra det unära talsystemet där eleverna kan resonera eller argumentera för varför positionssystemet som de lär sig är mer effektivt för att uttrycka stora eller mycket små tal. I mellanstadiet kommer eleverna i kontakt med t. ex det egyptiska eller babylonska talsystemet och binära tal (eller andra talsystem med annan bas än tio) vilka kan jämföras på olika sätt och genom olika övningar.

Det är nu många år sedan jag själv gick i grundskolan men jag minns väl en övning om talsystem vi genomförde på högstadiet. Vi fick konstruera ett talsystem med talbasen 6. Jag minns hur fastrotat tiobassystemet var i mitt huvud när vi arbetade med uppgiften. Ett exempel är när vi bestämde namnet “sio” på talet som kom efter talet 5 som var den sista tillgängliga siffran och senare talen “sundra” och “susen”. Namnen i sig är inte viktiga och jag förstod nog inte då exakt vad vi utvecklade för kunskaper genom övningen.

Med ovanstående uppgift i åtanke undervisade jag i början av denna vecka eleverna i årskurs 8 om talsystem. Jag hade en inledande genomgång om hur det binära talsystemet var uppbyggt, vilket jag i och för sig också förväntade mig att eleverna skulle vara någorlunda bekanta med sedan mellanstadiet. Sedan visade jag hur man kunde omvandla tal från vårt talsystem till ett talsystem med basen 4 och diskuterade med eleverna hur positionsvärdena i ett talsystem varierar beroende på talsystemets bas. Efter det fick eleverna arbeta i små grupper och skriva fem olika tal som jag valt ut i talsystem med basen 5, 7 eller 9.

skarmklipp-2016-09-17-19-53-33

Varje gång eleverna i grupperna hade skrivit färdigt sina fem tal på miniwhiteboards förde vi diskussioner i helklass om hur grupperna gjort. När vi till sist arbetade med talsystemet med basen 9 upptäckte jag att samtliga grupper angrep uppgiften på samma sätt, nämligen genom att först ange de olika positionernas värden och sedan bilda talen som beskrev de värden mina fem tal hade. Efter det frågade jag eleverna i helklass hur vi kunde uttrycka talet 1,5 eller andra decimaltal i exempelvis talsystem med basen 3? Några elever var direkt på rätt spår och förstod att här måste vi beakta ytterligare en position med värdet 1/3 (en tredjedel) följt av en position med värdet 1/9 (en niondel). Jag avslutade lektionen med att be eleverna beräkna 132-14 med en algoritm.  “Twisten” blev att berätta för eleverna att talen var skrivna med talbasen 5.

Inför nästa vecka har jag konstruerat ett exceldokument som eleverna i grupp ska få titta på. Eleverna kan skriva in tal på ett ställe som jag kallat “tiobassystemet” och i tre andra celler uttrycks detta tal som de skulle skrivas i tre olika talsystem med annan bas. I den gula rutan omvandlas talen till det hexadecimala systemet som en extra utmaning till eleverna. Eleverna kommer arbeta antingen två och två eller i små grupper om 3-4 elever med uppgiften. Jag är intresserad av elevernas olika strategier att angripa problemet och den efterföljande diskussionen där vi kan jämföra de olika angreppssätt som grupperna haft.

skarmklipp-2016-09-17-17-53-24

När eleverna sedan kan omvandla tal mellan vårt talsystem och talsystem med annan bas samt förstår hur positionernas värden varierar är steget inte långt att koppla på potensbegreppet för eleverna (ett samband en del elever i gruppen redan visat kunskaper om). Eleverna har redan undervisats om potensform och de flesta av eleverna kan potenslagen: a⁰=1 Det hoppas jag ska göra att eleverna snabbt ser sambandet mellan begreppen.

Jag skrev tidigare att jag som elev inte hade någon aning om vad uppgiften med talsystem utvecklade hos mig. Som lärare vet jag att övningen är bra för att eleverna ska uppmärksamma dels fördelar/nackdelar med vårt talsystem men också inse hur starkt rotad i kulturen och i det vardagliga livet (vana) tiobassystemet är. Uppgifterna är för de allra flesta av eleverna i min grupp att betrakta som matematiska problem vilket leder till att eleverna utvecklar sin problemlösningsförmåga. Elevernas taluppfattning utvecklas i och med att de oundvikligen tvingas till huvudräkning (eller andra räknemetoder) och analys av positionernas värden i de olika talsystemen likväl som de får använda matematikens lagar, begrepp och metoder och sedan kommunicera och resonera kring dessa med sina klasskamrater och sin matematiklärare.

 

 

 

Får vi använda miniräknaren?

Får vi använda miniräknaren? Hur många gånger har jag inte fått den frågan av elever i skolan och som alltid, oavsett vilket hjälpmedel eleverna efterfrågar (digitalt som analogt) beror svaret alltid på vad syftet med övningen/uppgiften är? Är syftet att träna en skriftlig räknemetod, att lösa ett problem i många led eller något helt annat?

Precis som varje gång jag börjar undervisa en ny grupp, vare sig det är på mellanstadiet eller högstadiet vill jag få eleverna att reflektera ett varv extra över att en lektion inte handlar om att bara göra saker utan att faktiskt lära sig något av att göra saker och genom att tänka. I veckan utsatte jag mina elever för en uppgift om delbarhet som finns att se på matematiklyftets portal (området taluppfattning) där läraren Cecilia Christiansen genomför övningen som en uppvärmning i början av en lektion i problemlösning. Övningen går ut på att repetera eller introducera delbarhetsreglerna och för eleverna att också använda sina kunskaper om positionssystemet. Uppgiften för eleverna är att komma på det minsta sexsiffriga tal som är delbart med tre och fem men inte med två och som samtidigt innehåller siffrorna 7 och 9, en uppgift som i sig går att förenkla, försvåra och förändra i oändlighet. Uppgiften handlar också om att kunna motivera och argumentera för att det tal som eleverna kommer fram till stämmer med beskrivningen och varför det gör det.

Skärmklipp 2016-08-28 20.25.38

När min åk 7 ställdes inför uppgiften var den första kommentaren jag möttes av att de inte förstod någonting av uppgiften men efter att ha diskuterat begreppet delbarhet klarnade det för eleverna och de kunde två och två sätta igång med att försöka lösa uppgiften. Efter högst en halv minut frågar flera av eleverna: “får vi använda miniräknare”? Självklart får ni det om det är till någon hjälp svarade jag. Jag märkte ganska snabbt att eleverna inte kände till delbarhetsreglerna och att de fick använda andra, inte så effektiva, strategier för att lösa uppgiften som därmed också blev att betrakta som ett problem för dem. De flesta par av elever lyckades närma sig en lösning med hjälp av miniräknare samt att de kände till att tal delbara på 5 slutade på 5 eller 0 och att tal delbara med två är jämna tal. Dock var det inget par som löste hela uppgiften den första lektionen.

Efter detta diskuterade jag med eleverna det faktum att man kan lära sig mycket genom att anstränga sig även om man inte löser mer än en del av ett matematiskt problem. Sedan diskuterade vi hur effektivt hjälpmedel miniräknaren var för eleverna i den här problemsituationen. Eleverna var rörande överens att här behövde vi annan kunskap för att effektivt kunna lösa uppgiften som visserligen är relativt abstrakt till sin natur men ändå relativt greppbar och inbjudande för eleverna. En sista vinst för mig som lärare var att jag nu visat eleverna vad jag förväntar mig att vi ska klara av tillsammans med betoning på att vi behöver träna en hel del (anstränga oss) för att lära och att vi, både lärare och elever, har ett gemensamt ansvar här. Jag måste tillägga att det fokus jag fick uppleva under efterföljande två lektioner bådar mycket gott inför kommande tre år.

Skolstart och värdet av att sända signaler

I torsdags hälsade jag en ny sjua välkommen till vår skola. Nästkommande tre år kommer jag tillsammans med en kollega vara klassföreståndare i 7B och de första skoldagarna är ett gyllene tillfälle att sätta ut riktningen tillsammans med eleverna. Än så länge har jag inte hunnit ha någon lektion med åk 7 men väl med åk 8 som började skolan i fredags. Jag tror inte på att mjukstarta terminen med eleverna i den bemärkelsen att eleverna ska utsättas för lattjolajbanövningar som inte har något med läroplanens och i synnerhet kursplanernas innehåll att göra de första skoldagarna eller hela första veckan som vissa skolor gör i relations- och trygghetsskapande syfte. Varför ska inte eleverna få lära sig matematik på deras första matematiklektion, geografi på geografilektionen eller tyska på deras första lektion i tyska frågar jag mig? Någon kanske menar att det är viktigast att skapa relationer till eleverna vid skolstart (eftersom vi vet att relationer spelar roll för resultaten) och det är just det jag tror man som lärare ska göra, dock genom undervisningen och dess innehåll. När eleverna får lära sig något utvecklas förtroende för läraren och därmed utvecklas också relationen mellan lärare-elev.

Med det i åtanke inledde jag, efter ett kort upprop och utdelning av material, min första lektion i matematik i åk 8 med problemet “schackbrädet och riskornen” som förvisso är en ganska lättsam uppgift men som fokuserar på matematiskt innehåll som “stora tal” eller exponentiell tillväxt. De flesta av eleverna löste problemen relativt enkelt och fick syn på den snabba tillväxten och genom en följande klassrumsdiskussion kom vi in på frågan hur man kunde uttrycka stora tal som potenser. Det fick bli ingången till temat om tal (bl.a. decimaltal, negativa tal och potenser) som vi ska arbeta med några veckor framöver. I slutet av lektionen hör jag en elev med stor förvåning viska till en annan:

Och jag som trodde vi skulle mjukstarta”.

Jag tror det är viktigt att ge eleverna en tydlig signal om varför vi är i skolan, om hur viktigt det vi använder tiden väl samt att i handling visa vad jag förväntar mig av eleverna. Varför inte göra det direkt den första lektionen för att visa värdet av den tid vi tillsammans förfogar över?

Boktips till hängmattan i sommar

En del lärare väljer att under sommaren förkovra sig i pedagogisk/didaktisk eller annan litteratur som anknyter till arbetet. Jag har nedan samlat några tips på böcker jag tycker är läsvärda och kan vidga perspektiven för dig som lärare. De har åtminstone gjort det för mig och skapat nya frågor att reflektera över. Böckerna är i sig väldigt olika och passar säkert olika målgrupper olika bra också men jag tror det kan finnas något för alla i listan.

IMG_4061

 

John Hattie & Gregory Yates, Hur vi lär

Den här boken är ett ambitiöst försök att beskriva hur våra lärprocesser går till med utgångspunkt i pedagogisk, utbildningsvetenskap och kognitionspsykologisk forskning. Samtidigt slår författarna hål på myter inom utbildningsväsendet som t.ex. lärstilar med tydliga referenser. Boken behandlar både faktorer som är viktiga för lärandet i klassrummet men också vad som konkret händer i hjärnan på individer som lär och hur individer påverkas av olika saker. Boken är som sagt en gedigen genomgång med en imponerande referenslista och rekommenderas varmt för dig som vill få såväl överblick på som en djupare inblick i vad som sker när vi lär och beskriver också vilka hinder vi kan stöta på i processen.

Anette Jahnke,  Skolans och förskolans matematik- kunskapssyn och praktik

Vid en första anblick verkar den här boken bara vara ämnad åt matematiklärare men jag vill mena att den också genom ett filosofiskt perspektiv kan öppna ögonen för hur lärare generellt kan se på friktionen mellan skolpraktiken och de praktiker vi kan finna utanför skolans värld. Är skolans matematik användbar? Som matematiklärare får man vid läsningen också en djupare inblick i de matematiska förmågor som uttrycks i dagens svenska styrdokument kan innebära och hur de vuxit fram. Den här helt nya boken (2016) tar sin utgångspunkt i Anette Jahnkes avhandling och ger läsaren med hjälp av exempel ur förskolan och skolans matematik en fördjupad bild av svensk matematikutbildning där den röda tråden tydliggörs för läsaren.

Alistair Macintosh, Förstå och använda tal- en handbok

Den här boken har några år på nacken och är känd bland de flesta matematiklärare i grundskolan, inte minst genom matematiklyftet. Boken är precis som det låter en handbok med tillhörande diagnostiskt material som kan användas i undervisningen. Inom området taluppfattning beskriver McIntosh också förtjänstfullt de vanligaste svårigheterna och missuppfattningar som elever i skolan har och hur man kan undervisa för att dessa missuppfattningar inte ska få fäste från början. Den här boken rekommenderas för dig som vill ha handfasta tips att inkludera vid planeringen av din undervisning.  

Daniel Kahneman, Tänka snabbt och långsamt

Den här boken blev en bästsäljare för några år sedan. Författaren är en psykologiprofessor som kanske mest är känd för sin forskning om riskbedömning och om människans förmåga att ta rationella beslut. Tänka snabbt och långsamt är en sammanfattning av Kahnemans forskningsresultat. Det bästa med boken tycker jag är att läsaren ställs inför frågor under läsningens som gång på gång på ett mycket skickligt sätt utsätter läsaren för de fenomen Kahneman ämnar beskriva. På så sätt känns boken lättillgänglig trots att det är svåra ämnen som behandlas. Av mina lästips är den här boken den som kanske känns minst skolrelaterad inledningsvis men jag har märkt att jag då och då återkommer till innehållet då jag reflekterar om min undervisningspraktik.

Ingrid Carlgren, Kunskapskulturer och undervisningspraktiker

Vill du som lärare fördjupa dig i frågor kring kunskapssyn och relationen mellan kunskapens teoretiska och praktiska grund är den här boken en utmärkt utgångspunkt. Carlgren har lyckats strukturera frågeställningar om kunskapens natur och dess relation till svensk undervisningspraktik och dess förändring på ett tillgängligt sätt för läsaren. Carlgren ger sig på att förklara orsaken till den kultur och praktik som utformats och vuxit fram i Sverige fram till idag. Det är också befriande för oss läsare att Carlgren vågar lyfta några heliga kor i svensk skola för vidare granskning.

Gunnel Colnerud & Kjell Granström, Respekt för läraryrket

Den här boken är för dig som vill fördjupa dig i frågor om yrkesetik och yrkesspråk. Boken har under många år funnits med i lärarutbildningar men som lärare blir det också en annan läsning efter några år i yrkespraktiken. I boken diskuteras å ena sidan hinder och möjligheter för läraryrkets professionalisering men också etiska dilemman lärare ställs inför sett ur olika perspektiv. Vikten för lärare att utveckla sin etiska ryggrad som en specifik kompetens lyfts fram förtjänstfullt och trots att boken har några år på nacken känns frågorna dagsfärska och aktuella.

Pauline Gibbons, Stärk språket, stärk lärandet

Idag möter i princip alla lärare i Sverige någon gång elever med annat modersmål än svenska. Den här boken kan rekommenderas för dig som vill utveckla en språk- och kunskapsutvecklande undervisning som tar hänsyn till dina elevers olika bakgrunder. Boken är en bra grund för lärare oavsett ämne och ger exempelvis uppslag på hur man i matematik, kemi eller andra ämnen kan arbeta begreppsfokuserat och kommunikativt i undervisningen för att utveckla språket parallellt med kunskaperna. Boken ger en översiktlig teoretisk grund och också många konkreta exempel på språkutvecklande aktiviteter att använda i undervisningen.