Så kan man organisera programmeringsfortbildning lokalt

Till hösten ska vi matematiklärare arbeta efter de nya formuleringarna i kursplanerna i och om programmering. Jag har länge väntat på implementeringsinsatser lokalt, regionalt och/eller nationellt. En tid in i höstterminen insåg jag att tiden bara gick och att jag skulle blivit gammal om jag inte  tillsammans med mina kollegor försöka presentera en lösning som rektor kunde “köpa”. Visst kanske vi i matematiklärarkollegiet på min skola skulle behövt även extern input men den här terminen valde vi att lösa arbetet så här för att känna oss någorlunda förberedda till hösten:

  • I terminsplaneringen har träffar för programmeringsgruppen (som består av alla lärare på skolan som undervisar i matematik eller är behöriga i ämnet) planerats in varannan (i enstaka fall var tredje) vecka under den gemensamma konferenstiden vi har varje vecka på skolan. Matematiklärarna undantas från eventuellt utvecklingsarbete som sker under den tiden och fokuserar på programmering. 
  • Jag förbereder material och innehåll inför träffar som hålls varannan (i enstaka fall var tredje) vecka under konferenstid. Den tid som krävs för att förbereda träffarna ersätts jag givetvis för, “timme för timme”. Jag har bland annat plockat delar från Malmös fortbildning i matematisk programmering i Python som jag tycker är ett föredöme på området och förberett mig att själv kunna förklara innehållet och också kunna motivera kopplingen till ett matematiskt innehåll varje träff.
  • Parallellt med dessa träffar genomför jag en liten minikurs inom ramen för “Elevens val” om just matematisk programmering i Python där syftet från min sida är att få upp ögonen för vilka hinder eleverna kan möta dels vad gäller programmering men också i förhållande till hur de använder programmering som verktyg för att lösa matematiska problem, vilket senare kan diskuteras i programmeringsgruppen.
  • Det tid arbetet med uppgifter/programmeringsträning samt repetition som matematiklärarna arbetar med mellan träffarna tar ersätts lärarna för.
  • Vi kan också om vi önskar åka på en av Skolverkets konferens om programmering i skolan.

På våra gemensamma träffar har fokus inledningsvis legat på själva programmeringen, dvs. grunderna i Python och inte så mycket på den didaktiska aspekten av programmeringsundervisning än. Jag tänker mig att vi längre fram under terminen naturligt kommer komma in i de diskussionerna allt mer.

Sedan flera år tillbaka träffas vi matematiklärare en gång i veckan för att diskutera vår undervisning, stämma av arbetet med varandra och hjälpas åt med olika saker (t.ex. sambedömning). Den stående gemensamma tiden ligger kvar även nu när vi fortbildar oss i programmering så att det dagliga arbetet kan fortskrida som förr. För att allt det här skulle fungera har en nyckel varit att vår ledning litat på oss och att vi kan vårt jobb samt vet vad som kommer krävas av oss framöver genom att lyssna på vårt förslag till en lokal fortbildningsgrupp. Genom det har ledningen också förstått att vi lärare behövt tid för detta och möjliggjort det i dialog med oss. Vi kommer sannolikt stå på skakiga ben även i höst när vi ska börja arbeta efter de nya formuleringarna men vi har kommit ett steg på vägen. 

Introducera algebra

Var uppstod behovet av att använda variabler i matematik? Började man använda bokstäver (eller andra symboler) för att beteckna ett okänt tal eller för att beskriva ett samband? Eller kanske något helt annat? I vilken situation upptäcktes värdet av att använda symbolerna? Hur sker användningen idag? Detta är några av de frågor jag och en matematiklärarkollega ställde oss själva när vi planerade för att introducera området algebra i åk 7 detta läsår. På mellanstadiet har de flesta elever mött enkla ekvationer i någon mån och många har även provat att formulera enkla uttryck. Min erfarenhet är dock att få elever byggt upp säkerhet kring begrepp och metoder inom algebra innan de börjar årskurs 7. Normalt brukar vi på min skola introducera området med att undervisa om ekvationer med fokus på balansmetoden följt av att efter det fokusera på att formulera och förenkla uttryck samt sätta in värden i uttryck och sedan lösa problem med hjälp av ekvationer.

I år beslutade vi oss för att arbeta på ett sätt som i mångt och mycket börjar i en annan ände än vad vi brukar. Vi ville att eleverna skulle upptäcka att de utan vissa begrepp och metoder skulle tvingas göra ett jobbigt och hårt arbete för att på så sätt sedan få upptäcka och förstå värdet av nya viktiga matematiska metoder/begrepp som i sin tur förenklar arbetet. Vår förhoppning var att fler elever skulle få upp ögonen för hur matematiken kan användas samt att det finns ett motiv och ett behov som någon gång någonstans vuxit fram. 

 

Formulera uttryck och sätta in värden

Vi började med att undervisa om uttryck. Vi bad eleverna skissa en rektangel där ena sidan var 3 (längdenheter) längre än andra sidan. Vi bad också eleverna skriva ned en beräkning för omkretsen på sin rektangel. Sedan fick eleverna jämföra sina skisser och diskutera frågor som:

  • Har alla ritat samma rektangel?
  • Varför har vi ritat olika när alla fick samma uppgift?
  • Är det någon som har gjort fel?
  • Har alla rektanglar samma omkrets? Varför/varför inte?   

Efter den diskussionen bad vi eleverna rita alla rektanglar där ena sidan var tre (längdenheter) längre än den andra sidan. Många elever är lojala och sätter igång att rita ett stort antal medan andra protesterar och menar att det finns oändligt många och att det skulle ta oändligt länge att skissa upp. Det var denna jobbiga känsla vi ville åt så att eleverna skulle “känna” värdet av att beteckna sidorna med variabler. Eftersom de allra flesta av eleverna åtminstone stött på variabler tidigare benämnde vi sidorna enligt bilden nedan:


Eleverna fick återigen skriva en beräkning för omkretsen på rektangeln vilket nu blev en slags introduktion till begreppet uttryck och hur det hörde samman med den beräkning de gjort tidigare med värden. På så sätt hade vi både introducerat begreppen variabel och uttryck och också visat eleverna en situation där det kan vara motiverat att använda sig av dessa. Efter detta fick eleverna testa att sätta in olika värden för a och beräkna omkretsen för rektangeln. Vi började med enkla värden som eleverna lätt kunde behandla i huvudet för att sedan ersätta dessa med decimaltal där miniräknare underlättar arbetet. Slutligen lyfte vi upp diskussionen om det kommunikativt och/eller matematiskt spelar någon roll om vi uttrycker oss med eller utan parenteser när vi beskriver rektangelns omkrets (se nedan).

a = 2 cm

Omkretsen = 2 cm + 2 + 3 cm + 2 cm + 2 + 3 cm = 14 cm  eller

Omkretsen = 2 cm + (2 + 3) cm + 2 cm + (2 + 3) cm = 14 cm

Vårt nästa steg var att lyfta fram behovet av att kunna förenkla för eleverna. Genom att konstruera en månghörning (ungefär enligt figuren nedan) fick eleverna formulera ett uttryck för omkretsen som inte var lika lätt att hantera som det för rektangeln. Sedan ägnade vi stor del av lektionen till att låta eleverna sätta in olika värden i uttrycket och beräkna omkretsen (både heltal och decimaltal). Alla elever arbetade hårt med detta och några förenklade själva uttrycket utan att ha fått undervisning om det men vi bad dessa att hålla på lösningen en liten extra stund, allt för att eleverna skulle få kämpa lite (observera att det här kan vara en utmärkt övning i att öva prioriteringsreglerna etc.). När alla kämpat med dessa övningar en tid frågade en elev om det inte fanns något enklare sätt, en genväg. Då visade vi eleverna hur man kunde förenkla uttryck och att det verkligen förenklade arbetet när man sedan skulle sätta in värden för vilka omkretsen skulle beräknas.


Efter dessa övningar gick vi över till att arbeta med problemlösning. Vi ville genom dessa introducera ekvationslösning som en strategi för att lösa problem. Eleverna fick i turordning arbeta med följande två problem:

Som synes blir det andra problemet “otympligt” att arbeta med om man endast gissar/provar sig fram i tabellform som många elever gör innan de arbetat med algebra.

Först efter alla dessa övningar fick eleverna undervisning i hur man löser ekvationer med den sk. “balansmetoden”.  Vår upplevelse är att det gått minst lika bra att introducera avsnittet algebra på detta sätt och i denna ordning som tidigare när vi inledde med balansmetoden för att senare bygga på med undervisning om hur man formulerar begrepp. Om det ena sättet är bättre än det andra låter jag vara osagt men det arbete som vi gjorde det här läsåret kändes mer naturligt för både oss lärare och eleverna, kanske för att vi försökt utgå från att belysa det behov som någon gång uppstått genom historien.

Men hur var det nu med frågorna jag ställde inledningsvis i texten om den historiska aspekten av algebra? På länken nedan finns en liten sammanställning över de tidigaste kända exemplen på användning av symboler för variabler (tack Mattias Danielsson för länk).

http://jeff560.tripod.com/variables.html

Höga förväntningar i skolan 2018?

I morgon börjar de flesta lärare åter arbeta efter julledigheten. Enligt forskningen sägs det vara mycket viktigt för lärare att ha höga förväntningar på alla elever i skolan. Begreppet “förväntningar” är i sin tur tätt sammankopplat med begreppet “förtroende”. Jag antar att samma sak gäller övriga relationer i skolan? Jag som lärare har ju inte bara förväntningar på eleverna utan också på mina kollegor, min chef och till syvende och sist också kommun och stat som styr skolan. Det vore väl ypperligt om dessa förväntningar också kunde vara höga och att vi kunde ha ett stort ömsesidigt förtroende för varandra? Kanske är det möjligheten att ha höga förväntningar i alla skolans led som kan göra skolan till en attraktiv arbetsplats? 

Men möjligheten för alla intressenter att ha höga förväntningar har givetvis ett pris. Varför? Varje förväntan på något får också en konsekvens, både när förväntan infrias men också när den inte infrias. På ett sätt är det genom dessa processer som förtroende byggs upp. När det gäller förtroende bygger vi lärare upp förtroendekapital till eleverna genom vårt arbete och vår undervisning. Ibland gör vi uttag av det förtroendekapitalet, dvs. att vi gör saker som gör att förtroendet hos eleverna minskar. Oftast har vi råd med “uttag” då vi genom undervisningen också gjort “insättningar”. Förtroendekapital byggs också upp i skolans andra relationer.

Men vad händer hos den lärare som i lärarbristens tidevarv får en kollega utan eftergymnasial utbildning utan en gedigen organisatorisk plan? Kan läraren ha höga förväntningar utan att bli besviken? Vad händer då med förtroendet? Hur ska den lärare som får använda omoderna läromedel i historia som skrevs strax efter järnridåns fall kunna ha höga förväntningar på innehållet i texterna och samtidigt se sig själv i spegeln? Hur ska lärare som får höra att skolan inte har råd med fortbildning kunna ha höga förväntningar på sin chef som fått en för liten pengapåse? Och hur ska chefen i sin tur kunna ha höga förväntningar på förvaltningen och kommunerna när inte pengapåsen räcker till alla poster pga. effektiviseringskrav? Man kan inte fortsätta ta ut pengar i en bankomat hur länge som helst. Likadant fungerar det med förtroendekapital. Det är givetvis ingen lätt ekvation och alla beslut får sina konsekvenser, både ekonomiska och praktiska, men visst vill jag att hela styrkedjan i skolan ska genomsyras av höga förväntningar och ett högt förtroende som samtidigt klarar av att stå emot kritik från olika håll. Någonstans där står läraryrkets attraktivitet att finna tror jag.  

Nåja, låt mig lägga undan konsekvenserna och de eventuella kostnaderna som de höga förväntningarna får för skolan en stund och låt mig drömma kring mina förväntningar inför 2018. Här kommer min lista. Ni får själva avgöra om förväntningarna är höga, låga eller bara rimliga.

Under 2018 förväntar jag mig att:

  • alla de politiska partierna talar högt om hur de på systemnivå vill skapa förutsättningar för skolan att lyckas och lägger sig inte i detaljfrågor
  • Skolverkets påbörjar och är transparenta kring sin systematiska utveckling av styrdokumenten där kunskapskraven ska revideras
  • min undervisning blir minst lika bra eller bättre än förra året 
  • jag känner mig säker på hur jag ska undervisa om/i programmering vid matematisk problemlösning innan sommarlovet
  • andelen lärare som drabbas av arbetsrelaterad sjukdom minskar drastiskt och att det genomsnittliga antalet sjukdagar bland lärare minskar
  • alla lärare får förutsättningar att hinna med sitt arbete (med kvalitet) inom ramen för sin arbetstid 
  • matriser aldrig tillskrivs större värde än innehållet i undervisningen
  • pseudovetenskaper såsom lärstilar inte får något utrymme alls
  • formuleringen “särskilt beaktas”, som används gällande vilken vikt nationella proven ska ha vid betygsättning, tydliggörs 
  • lärare på skolor runt om i Sverige får välja bland olika läromedel, efter behovet, när de planerar sin undervisning istället för att tvingas välja mellan ett specifikt halvdant läromedel och “inget läromedel”
  • lärares tid till för- och efterarbete av lektioner alltid anpassas till undervisningstiden och antalet elever
  • alla lärare får en sk. “motionstimme” och kan använda den
  • mängden undervisningstid regleras
  • användning av dåliga och (tids-) ineffektiva lärplattformar inte är ett tvång
  • stat och kommunerna alltid tar praktiskt och ekonomiskt ansvar för den praktik som skapas när de inför nya arbetsuppgifter i skolan
  • lärare har tid till återhämtning mitt under sin arbetsdag, dvs. hinner dricka minst två koppar kaffe (eller annat alternativ) på arbetstid varje dag utan att samtidigt arbeta
  • arbetsgivaren betalar kaffet

Det ska poängteras att ovanstående är en högst personlig lista med några av mina egna förväntningar på året. Säkert finns en lång lista med andra saker som är viktiga för just dig och som du förväntar dig. Jag hoppas att ni alla får ett bra år och att många av era förväntningar av 2018 infrias. 

 

“Lådan” – en rik problemlösningsuppgift om volym

Jag har precis börjat med ett arbetsområde om rymdgeometri i åk 9. Inom området har jag bland annat planerat att eleverna ska få träna metoder för att beräkna volym av olika geometriska kroppar samt att enhetsomvandla (volymenheter). Utöver det är tanken att eleverna ska få möta många olika typer av problemlösningsuppgifter och motivera sina lösningar av dessa.

Idag fick eleverna möta en klassisk uppgift som jag valt att kalla “Lådan”. Jag höll i ett A4-papper. Sedan klippte jag bort fyra lika stora kvadrater, en i varje hörn. Efter det vet jag in sidorna så att en låda bildades. Uppgiften eleverna fick var att beräkna hur stora kvadrater som behöver klippas bort för att lådan ska rymma exakt en liter. En ytterligare fråga jag hade på lager var: “hur stor volym kan lådan maximalt ha”? Den frågan hann vi dock inte behandla denna lektion. 

Till stöd fick eleverna följande bild där också måtten på ett A4 papper serverades:

Uppgiften är lätt för eleverna att förstå. Det finns flera lösningar på problemet och det finns också olika sätt att ta sig an uppgiften. Inom elevgruppen såg jag snabbt några olika strategier för att lösa problemet. Många provade sig fram med olika mått (på kvadraterna) och närmade sig på så sätt en lösning. Till dessa elever ställde jag frågan om vad som för dem avgjorde vad de skulle prova med för mått, dvs. hur de motiverade sina gissningar? Några elever valde att istället ställa upp en ekvation. En del av dessa saknade det formella språket för att göra det. Till dessa elever försökte jag leda fram eleverna till att formellt ställa upp sambandet mellan sidorna och volymen. En annan elev ställde upp: 1000000 = (297-2x)(210-2x)*x men kunde inte lösa ut x. Jag gav denna elev möjligheten att skriva in ekvationen på Wolframalpha.com och analysera resultatet. Det blev en intressant diskussion kring nedanstående graf och vad de tre röda prickarna kunde innebära samt vilka lösningar som faktiskt var aktuella när det gällde “Lådan”.

Nästkommande lektion ska vi lyfta upp elevernas arbete till diskussion i helklass en liten stund och jämföra de olika lösningarna och sätten att ta sig an uppgiften. Jag gillar generellt den här typen av problem, som attraherar elever på alla nivåer, där alla kan delta och öva sig utifrån sin kunskapsnivå och som samtidigt ger elever som kan mer möjlighet att fördjupa sig. 

Fortbildande implementering eller ensamma lärare?

Om drygt en termin ska vi börja undervisa elever i programmering och dess tillämpning vid problemlösning i både grundskolan och gymnasieskolan. En del skolor och/eller kommuner började redan förra våren planera för detta och har startat implementeringen och den fortbildning som lärare behöver för att kunna behandla detta innehåll i undervisningen. Andra skolor och kommuner har ingen plan alls än. Det ser alltså väldigt olika ut beroende på var man arbetar.

I Malmö finns ett redan planerat fortbildningsupplägg för matematiklärare på gymnasiet och komvux som har ungefär samma form som matematiklyftet. Fortbildningen är redan igång och är planerad över 12 träffar á 2 timmar som behandlar både själva programmeringen (i språket Python 3) och det didaktiska perspektivet. Kursmaterialet är öppet för oss övriga att ta del av. Faktum är att många delar av materialet passar bra i åk 7-9. Ett annat positivt exempel på hur man kan arbeta med programmering i matematik (åk 7-9) är den ambitiösa boken, Programmera i matematik som Staffan Melin skrivit.

I min kommun finns ännu inte något övergripande arbete över hur programmering ska implementeras i matematikundervisningen på högstadiet. Inte heller lokalt på skolan finns ännu någon fortbildningsplan för att utveckla kunskaper om programmeringen och det didaktiska perspektivet samt tillämpningen vid problemlösning (som vi faktiskt ska undervisa i). Jag skrev redan i mars ett inlägg där jag befarade att huvudmän skulle underskatta den tid till fortbildning som programmeringen kräver och som vi lärare har behov av. Men varför låter jag så gnällig? Det kan väl inte vara så svårt att lägga till lite programmering i matematiken?

För att illustrera vad jag menar vill jag utgå från formuleringarna i kursplanen som lyder:

Problemlösning i årskurs 7–9: Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för matematisk problemlösning.” och “Hur algoritmer kan skapas och användas vid programmering. Programmering i olika programmeringsmiljöer.”

Som jag har tolkat skrivningarna ska elever i åk 7-9 möta kod och lära sig skriva algoritmer och använda dessa för att kunna lösa problem. Jag har funderat en del vad det kan innebära? Vilka uppgifter för eleverna skulle naturligt kunna kopplas till dessa skrivningar? I åk 7 har jag arbetat med området “tal” i början av hösten. Där stöter eleverna bl. a på delbarhetsregler och primtal. Här skulle man kunna be eleverna skriva en kod som låter användaren skriva in ett tal och testa om det exempelvis är delbart med 2. Utöver  kunskaper i själva programmeringen behöver eleverna givetvis också matematikkunskaper om vad som kännetecknar tal som är delbara med 2. Här är en bild av hur koden för att lösa uppgiften skulle kunna se ut i språket Python 3. I höger spalt står olika begrepp eleven behöver kunskaper om för att kunna göra detta själv:

Skulle eleverna sedan få en uppgift att skriva kod som istället testar om talet är delbart med 3 ökar svårighetsgraden markant enligt mitt sätt att se det. Här är ett exempel på hur det skulle kunna se ut (koden är långt ifrån perfekt men löser uppgiften):


Vad krävs av vår undervisning för att eleverna ska kunna göra det här på egen hand? Vilka kunskaper behöver eleverna i matematikämnet och vilka begrepp måste eleverna kunna vad gäller programmering? Som du ser är detta givetvis inget som låter sig göras i en handvändning, särskilt inte om man som matematiklärare aldrig själv fått lära sig programmering och hur man kan tillämpa den. Då har vi inte ens talat om hur man lär eleverna både matematiken och begreppen. Svåra frågor som synes.

Ett annat exempel på uppgift som eleverna på högstadiet rimligen skulle kunna ställas inför är inom området geometri där eleverna arbetar med omkrets och area av olika figurer. Programmeringen skulle kunna hjälpa eleverna att finna alla möjliga lösningar på ett särskilt problem, något vi ofta är ute efter i matematikämnet.


Min poäng med dessa exempel är att det inte är enkelt att bara gå in i ett klassrum och undervisa om detta. Det beror på att eleverna förutom själva kunskaperna i programmering också behöver specifika matematiska kunskaper för att programmeringen ska kunna bli användbart vi problemlösning. Vi lärare behöver diskutera vilka uppgifter som är lämpliga att genomföra med elever och vilka matematiska kunskaper och kunskaper om begrepp i programmering som eleverna behöver för att det hela ska bli genomförbart. Med det sagt är det ju en given konsekvens att även vi lärare behöver få tid och hjälp av lära oss att programmera själva då det är långt ifrån alla högstadielärare som överhuvudtaget har provat det tidigare.

För en tid sedan skrev jag en text om Skolverkets utvärdering av reformerna i början av det här årtiondet bl.a. kunskapskraven. Där konstaterar Skolverket att lärarna är de som får leva och hantera de ambivalenser som kunskapskraven inrymmer till följd av den spänningsfyllda konstruktionsprocessen. Motsättningar mellan olika behov och synsätt hade inte upplösts utan decentraliserats ut från den centrala politiska och byråkratiska nivån till lärarna på genomförandenivån. Trots alla lärdomar från olika implementeringsprocesser i bagaget är jag rädd att analyserna i utvärderingarna inte har nått beslutsfattare i tillräcklig grad och att vi återigen gör om misstaget i skolan. Observera att det är den otydliga (obefintliga?) planen inför  implementeringen och inte programmeringen i sig jag är orolig för. En del kommuner/skolor har en gedigen planering för hur implementeringen ska gå till och hur lärarnas (och därmed också i förlängningen elevernas behov) ska mötas. De lärare som jobbar i de övriga kommunerna/skolorna ser återigen ut att lämnas nere på den så kallade genomförandenivån att lösa problemet själva.

Global math project

För någon vecka sedan snubblade jag över en länk till sidan theglobalmathproject.org. Matematikprojektets syfte var att under en vecka i oktober nå miljoner elever världen över och erbjuda en uppgift som är spännande, främjar livliga diskussioner och ger eleverna en oemotståndlig önskan att utforska mer. Från den 10:e oktober och en vecka framåt publicerades material kring berättelsen ”Exploding dots” på sidan. Nu är veckan slut men fortfarande kan du hitta allt material på explodingdots.org som fortfarande uppdateras med nya övningar.

Upplägget börjar med en film där en lärare berättar om en fiktiv maskin som kallas 2 —> 1-maskinen. För att kort sammanfatta filmen handlar den om att på ett lekfullt sätt kunna skriva tal med olika baser. 2 —> 1 handlar alltså om att skriva binära tal medan 3 —> 1 på samma sätt skulle handla om att skriva tal med basen 3. Det hela handlar alltså om att bygga upp förståelsen för positionssystem, hur algoritmer fungerar och att utveckla taluppfattningen hos eleverna. Allt eftersom fördjupas uppgifterna för att passa elever med olika förkunskaper. Samtidigt är första uppgiften så pass enkel och tydlig att den passar till elever i åk 4 lika bra som till elever som läser den första gymnasiekursen.

Varje kapitel i den här berättelsen har ett tema men allt kretsar kring den här fiktiva maskinen. De olika kapitlen handlar om allt från att göra beräkningar med räknesätten (med tal i olika baser) till att dividera polynom. Till varje kapitel finns både analoga och digitala varianter av uppgifterna för eleverna att arbeta med. Dessutom finns lärarhandledning och fördjupande uppgifter att tillgå för lärare. Tyvärr är materialet inte översatt till svenska. 

Något som dock är viktigt att poängtera är att även om materialet har en bra struktur och progression kan det aldrig ersätta lärarrollen vid diskussionerna kring uppgifterna i klassrummet och vid valet av stoff på lektionen. Materialet kräver att läraren reder ut möjliga/eventuella missförstånd och felaktigheter med jämna mellanrum och belyser olika aspekter av uppgifterna för att just fördjupa elevernas förståelse, annars riskerar detta att bara bli ett görande i klassrummet. Med det i beaktande tror jag att det här projektet skulle kunna vara ett intressant inslag i undervisningen.

Vad är problemet med matriser?

Bakgrund

Sedan 2011 har användningen av matriser i svensk utbildning exploderat. Lärare började konkretisera de abstrakta kunskapskraven för eleverna vilket ofta skedde i form av sk. LPP (lokala pedagogiska planeringar) innehållande matriser som eleverna fick se i början av arbetsområdet och som fylldes i efterhand och/eller summerades i slutet av området. Lärplattformar växte fram med klickbara matriser som kunde kommuniceras till vårdnadshavarna med i bästa fall några få klick. Några av plattformarna hade till och med matrisbanker där lärare kunde dela sina matriser med varandra “för att spara tid”.

Samtidigt som detta skedde fick Dylan Wiliams idéer om AFL (assessment for learning) eller BFL (bedömning för lärande) som det kom att kallas i Sverige fäste. Några av idéerna med AFL (BFL) är att lärare ska klargöra vad intentionerna med undervisningen är och skapa uppgifter som leder eleverna framåt i sitt lärande samt att lärarna ska ge eleverna konstruktiv feedback. Det i sig låter inte så konstigt utan som en naturlig del av all undervisning, oavsett kunskapssyn.

Hur det ovanstående ska förstås idag är beroende av ytterligare en komponent som jag väljer att kalla informationskravet. I Skollagens 3:e kapitel står i 15 § att: “Eleverna ska informeras om de grunder som tillämpas vid betygssättningen”. I 17 § står: “Den som har beslutat betyget ska på begäran upplysa eleven och elevens vårdnadshavare om skälen för betyget”.

En vanlig tolkning blev att eleverna och vårdnadshavare genom konkretiseringen i LPP med tillhörande bedömningsmatris skulle få förståelse för grunderna för betygsättningen och även att läraren skulle kunna bedöma både summativt och formativt samt att eleverna skulle förstå vad som krävdes på uppgifterna. Men vems tolkning av Skollagens informationskrav är detta egentligen? Är det ens realistiskt eller ens önskvärt att möta alla dessa krav på information/konkretisering när helst någon frågar? Fokus har hamnat på att kunna bevisa kunskapens/kunnandets koppling till kunskapskraven, något som inte underlättas av de abstrakta värdeorden.  

 

Så vad är problemet med matriserna?

Idag används matriser i undervisningen på många olika sätt i Sverige. De olika har till och med fått olika namn såsom kunskapskravsmatriser, lärandematriser och bedömningsmatriser. Det är vanligt att elever får se en matris i början av ett arbetsområde (numera ofta digitalt) som sedan fylls i, antingen efterhand eller i slutet av arbetsområdet. Denna (kan) kommuniceras med eleven och vårdnadshavare. När det gäller just delen att informera om betyg kan matrisen vara ett bra verktyg (i dagens betygssystem). Men inte som en konkretisering för att lära sig bättre eller förstå vad som ska läras. Orsaken till det är att eleven med matrisen strävar mot ett specifikt betyg snarare än ett specifikt kunnande och att kunnandet i den konkretiserade matrisen riskerar bli alltför instrumentell både för läraren och eleven. Bedömningen reduceras till att bli en avprickning snarare än en bedömning av kvalitet. Innehållet för undervisningen kan vi givetvis kommunicera för att eleverna ska ha en referensram inför arbetsområdet men vad kunskapen att uppnå innebär  kommuniceras lättare genom undervisningens innehåll menar jag.  

Dylan Wiliam, som ligger bakom tankarna inom AFL, sa vid en föreläsning förra året att han är mycket skeptisk till att använda matriser i undervisningen av några olika skäl. Det första skälet är att orden i matrisen inte betyder samma sak för eleverna som de gör för läraren. Wiliam berättade ett exempel om en lärare som gett en elev rådet att göra mer systematiska undersökningar. Naturligtvis hade eleven gjort en mer systematisk undersökning om eleven vetat hur man gör det. Även om läraren har begrepp för att beskriva kvalitet betyder det inte att eleven förstår begreppens betydelse/omfång och kan kopiera det kunnandet. Ibland går det att reducera ned kvalitet till en checklista, men allt som oftast kräver ett kunnande så mycket mer. Dylan Wiliam exemplifierade detta med uppgiften att skriva en spännande spökhistoria. Det finns skrivtekniska detaljer som gör sig väl i en checklista men ingen spökhistoria blir spännande genom att någon enbart följt listan. Istället föreslår Wiliam att vi ska arbeta med eleverna genom att ge kontrasterande exempel på exempelvis texter så att eleverna utvecklar en “känsla för kvalitet”. Det går inte att göra genom enbart matriser.

En matris som visar eleven nästa steget att uppnå säger egentligen ingenting för eleven. Man kan inte förstå vad ett kunnande innebär i detalj innan man kan det. Man kan inte heller förstå vad kunnandet kräver för omfång av kunskaper innan man kan något utan att reducera kunskapen. I matrisen döljs den tysta kunskap som omger ett kunnande. Den går inte att konkretisera men är livsviktig om vi är ute efter kvalitetsaspekter.Ett till problem är hur vårdnadshavare förstår de uppgiftspecifika matriserna när de kopplas till betygsnivåer. De ser nästa steg i matrisen som krävs för ett högre betyg och frågar då vad eleven behöver göra för att uppnå det betyget. Det vi lärare då får förklara är att betyget handlar om att kunna och inte att göra och dessutom fler saker än bara det aktuella uppgiftsspecifika vilket säkert frustrerar många föräldrar. Forskning pekar på att användning av matriser leder till att elever och vårdnadshavare upplever transparens och att de kan leda till upplevelsen att bli rättvist bedömd. Men om det man som lärare vill säga med orden i matrisen uppfattas annorlunda av den som läser den har inte en konstruktiv kommunikation skett, oavsett upplevelsen av den. Det blir en slags lögn vi lever i. För läraren finns också en risk att matrisen reducerar kunnanadet/kunskapen vid bedömning. Risken i en praktik där användandet av matriser expoloderat är att lärarna inte funderar över kunskapernas kvalitet vid bedömning, dvs. den tysta kunskap som omger de ord som formulerats i matrisen. Det kan leda till att läraren också använder matrisen som en slags avbockningslista där ett resonemang på a-nivå innebär att resonemanget ska innehålla tre led och ett på e-nivå ett led oavsett innehållets kvalitet. Bedömningsaspekterna har således blivit instrumentella och jag vill mena att det finns en omedveten sådan risk med matriser som har sin direkta utgångspunkt i de kunskapskrav såsom de är formulerade idag.

Det faktum att de flesta matriser som konstruerats i Sverige har lika många kolumner som kunskapskraven gör att fokus för elever och vårdnadshavare endast är på betygsnivåerna. Att det sedan är de obegripliga värdeorden vi konkretiserar gör naturligtvis kommunikationen mellan alla parter än mer bekymmersam. Inlärning fungerar inte så. Det faktum att praktiken ser ut så och att elever och vårdnadshavare fått den bilden av matriserna gör att jag inte tror att det överhuvudtaget går att arbeta konstruktivt med matriser i undervisningen, åtminstone inte för lärandets skull.

Vad skulle hända om vi lärare under läsåret fokuserar på vad som är kvalitet i vårt ämne i våra diskussioner med kollegor och elever samt funderar på vad det innebär för vår undervisning för att sedan när det är dags för betygssättning (två gånger på läsår) ta fram kunskapskraven (som dock funnits med i bakhuvudet under året) och ställer elevens kunnande/kunskaper i relation till dem? Jag är medveten att värdeorden fortfarande behöver revideras bort från kunskapskraven för att det skulle fungera men jag tror inte själva betygen skulle bli så mycket annorlunda fördelade. Vi skulle till och med kunna informera eleverna om betygen via en matris. Skälen till betygen skulle vara elevens uppvisade kunskaper i förhållande till kunskapskraven. Men kanske skulle vi, eleverna och vårdnadshavarna bli mer medvetna att kvalitet kräver så mycket mer än något som kan bockas av i en matris? Kanske skulle fokus i undervisningen också bli mer på kvalitet än på aktuell betygsnivå och återkopplingen till eleverna och vårdnadshavarna mer ämnesspecifik?

Jag vill avsluta inlägget med en tweet som Dylan Wiliam skrev på Twitter för en tid sedan som lyder:

Lästips om matriser (fördelar och nackdelar):

http://www.diva-portal.se/smash/get/diva2:603034/FULLTEXT01.pdf

https://eric.ed.gov/?id=EJ881105

http://teachlikeachampion.com/blog/dylan-wiliam-advises-forget-rubric-use-work-samples-instead/

https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/bedomning/undervisning/matriser-leder-till-battre-elevprestationer-1.247354

http://www.learningspy.co.uk/writing/writing-drafting-crafting-and-sharing/

En brygga mellan förberedelseklass och ordinarie klass

På min skola har vi en förberedelseklass. När en nyanländ elev ska börja på vår skola görs en bedömning utifrån en kartläggning av elevernas språk- och kunskapsutveckling om eleven ska undervisas helt eller delvis i sina ordinarie klasser. De elever som inte ska få undervisning enbart i ordinarie klasser får ett eget individuellt schema där det framgår när de ska få undervisning i ordinarie klass och när de har lektioner i förberedelseklassen.  I vår förberedelseklass arbetar flera lärare, några med ett mer övergripande ansvar och några med ämnesfokus. Utöver det har vi förmånen att ha två medarbetare som kan arabiska och som kan stötta språkligt, både mig som lärare och eleverna, vid olika tillfällen.

Jag undervisar eleverna i förberedelseklassen i matematik och So-ämnen. Andra ämneslärare undervisar i t.ex. No-ämnen och svenska som andraspråk. Det innebär att jag har tre lektioner per vecka i matematik och tre lektioner i So-ämnen där jag undervisar grupper som ser lite olika ut varje gång, beroende på elevernas olika individuella scheman. Ibland undervisas eleverna i ordinarie klasser i andra (eller samma) ämnen när jag har “mina ämnen” i förberedelseklassen. Det i sig är en stor utmaning men samtidigt har den organisationen fungerat relativt väl för eleverna. Undervisningen i matematik och So-ämnen i förberedelseklassen har för mig tagit lite olika riktningar, kanske delvis för att ämnena har olika karaktär och att de nyanlända eleverna generellt har fler tidigare erfarenheter av matematikämnet än alla fyra So-ämnen men också beroende på hur vår organisation i övrigt har sett ut.

När det gäller matematik undervisar jag förutom förberedelseklassen också i de ordinarie klasserna (åk 7, 8 och 9). Det innebär att jag har en god inblick i hur det ser ut i de ordinarie undervisningsgrupperna på hela skolan och jag kan därmed också ta bra beslut om när det passar bäst för en elev att göra övergången från enbart undervisning i förberedelseklassen till att läsa matematik i ordinarie klass. Detta sker givetvis genom en tät kontakt med övriga undervisande lärare i matematik på skolan. Jag har också möjligheten att vara flexibel, hinner lyssna på eleverna och låta dem prova ordinarie undervisning och ta nya beslut efterhand utifrån hur det går. Dörren är aldrig stängd åt något av hållen egentligen. Många elever läser den första tiden efter övergången matematik i både ordinarie klass och i förberedelseklassen vilket naturligtvis underlättar. Den här bryggan mellan förberedelseklassen och ordinarie klassen i ett specifikt ämne har varit en framgångsfaktor för eleverna på vår skola. Samma “brygga” finns i fler ämnen än matematik, dvs. då ämneslärare undervisar såväl i ordinarie klasser som i förberedelseklassen.

Organisationen leder till att eleverna kan få stöttning på olika sätt i det ordinarie klassrummet där ämneslärare organiserar undervisningen och i förberedelseklassen där jag kan ge stöttning utifrån elevernas olika behov efter den ordinarie undervisningen, vare sig det handlar om olika typer av språklig stöttning eller om fokus mer ligger på själva innehållet (vilket så klart alltid också har en språklig aspekt även för de elever som behärskar svenska språket). Jag kan som matematiklärare i förberedelseklassen exempelvis välja att ägna en lektion på att undervisa om situationer där språket (både det vardagliga och ämnesspråket) kan sätta käppar i hjulet för eleverna (kopplat till ett givet matematiskt innehåll) samt givetvis också undervisa om kritiska aspekter av det matematiska innehållet. En organisatorisk utmaning där är dock att jag alltid möter elever ur tre årskurser samtidigt vilket gör att jag behöver prioritera vilket innehåll varje lektion ska fokuseras på.

Sammanfattningsvis har det faktum att jag undervisar eleverna såväl i ordinarie klasser som i förberedelseklassen samt att jag har ett tätt samarbete med övriga matematiklärare på skolan gjort övergången mellan förberedelseklassen och undervisningen i ordinarie klasser mer flexibel vilket vi ser gynnar eleverna. Eleverna blir snabbare trygga med innehållet i undervisningen både språkligt och innehållsmässigt. Det finns givetvis  fortfarande saker som kan bli ännu bättre, t.ex. samverkan med studiehandledare på elevernas modersmål och samverkan med modersmålslärare men vi har kommit en bit på vägen.

En skillnad med So-ämnena jämfört med matematikämnet, för både mig och eleverna, är att jag inte undervisar några ordinarie klasser i ämnena. Det innebär att jag inte har samma inblick i det sätt som innehållet behandlas i de ordinarie klasserna. Det leder till att den undervisning som jag har om So-ämnenas innehåll i förberedelseklassen i någon mån blir frånkopplad från de ordinarie klasserna. Det faktum att jag även här undervisar elever ur alla årskurserna (7-9) blir en än större utmaning. Naturligtvis har vi samma läroplan att förhålla oss till men ändå blir steget till de ordinarie klasserna naturligt längre då jag inte kan anknyta till vad som sker i undervisningen där på samma detaljnivå som i matematiken utan behöver hitta en “gyllene medelväg” gällande innehållet. En faktor som säkerligen också spelar in är att stora delar av So-ämnena är beroende av elevernas läsförmåga, läs- och hörförståelse (oavsett vilket språk det sker på) vilket inte är fallet i lika hög grad i matematikämnet. So-ämnena är fyllda av begrepp och referensramar som eleverna behöver stöttning kring.

Med dessa erfarenheter i bagaget kan jag rekommendera en organisation där ämneslärare undervisar elever i både förberedelseklass och elever i ordinarie klasser och som också kan fungera som den brygga eleverna behöver som stöd när de steg för steg tar klivet in i den ordinarie undervisningsgruppen. Stöttning för en trygg övergång kan vara a och o för många elever. Med det sagt behöver vi givetvis också vara väl medvetna om att det också utöver det behövs väl fungerande samverkan med modersmålslärare, studiehandledare, elevhälsa och andra som spelar roll för att eleverna ska lära sig mycket och må bra. 

Problem och Pythagoras

Jag har börjat läsåret med att bl.a undervisa om ett arbetsområde som behandlar triangeltal, kvadrattal, kvadratrot och Pythagoras sats. För många elever på högstadiet är Pythagoras sats något spännande och något de verkligen eftersträvar att behärska på djupet. Påståendet “kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna” som gäller rätvinkliga trianglar har varit känt i största delen av världen i årtusenden och alla som har gått i grundskolan känner igen begreppen på något sätt.

Jag inledde temat med att undervisa om begreppen kvadrattal och kvadratrot och sambandet dem emellan genom klassiska genomgångar där eleverna antecknade. Därifrån är steget kort till att beröra Pythagoras sats vilket vi också gjorde tillsammans genom olika exempel. Därefter lät jag eleverna arbeta en halv lektion med klassiska rutinuppgifter likt de på bilden nedan.

Det jag lagt överlägset mest tid på inom detta område (hittills 4-5 lektioner) är att låta eleverna arbeta med många olika problem där de har fått öva sig i tillämpning av Pythagoras sats i olika situationer. Jag har poängterat för eleverna hur viktigt det är att kunna koppla specifika situationer till Pythagoras sats även när de inte har en bild av en rätvinklig triangel framför sig. Jag tror att eleverna lättare identifierar dessa situationer när de har arbetat sig genom många olika problem med olika svårighetsgrad. Genom dessa övningar har eleverna givetvis också övat att skriftligt kommunicera sina beräkningar och har utöver det haft möjlighet att visa kunskaper om begreppen kvadrattal och kvadratrot samt tvingats lösa olika varianter av Pythagoras ekvation. På så sätt blir området också en repetition av den algebra som eleverna mött i tidigare undervisning.

Här är några exempel på problem i varierande svårighetsgrad som mina elever fått arbeta med och som du fritt kan testa att använda med elever om du vill:

Det första problemet liknar i mångt och mycket de rutinuppgifter som eleverna tränat sig i att lösa och är en bra övergång till problemlösning. Det kräver beräkningar i flera led. 

Det andra problemet handlar om att beräkna volymen på en kon där konens diameter och sida är känd. Problemet använde jag som ingång till att visa eleverna hur man kan finna rätvinkliga trianglar på ställen man inte vid första anblicken anar.

I det tredje problemet kopplade jag på begreppet likformighet, mest för att se om eleverna själva skulle dra den slutsatsen trots att vi inte arbetat med det på länge.

I ett fjärde problem fick eleverna beräkna hur långt det var mellan två punkter i ett koordinatsystem med hjälp av Pythagoras sats.

Det femte problemet krävde lite mer av eleverna när det gäller algebrakunskaper. Vi har ännu inte arbetat med kvadreringsreglerna men förvånansvärt många elever löste ändå problemet då de kunde multiplicera parentesuttryck.

De elever som klarade av föregående problem och som behärskar multiplikation av parentesuttryck klarade också av detta sista problem som jag hittills genomfört med eleverna. Nästa vecka ska vi diskutera elevernas lösningar av de tre sista problemen. Kanske blir detta en smidig övergång till undervisning om kvadreringsreglerna? Jag har inte bestämt det än. 

Jag hittade Galenskaparnas illustration av sambanden i en rätvinklig triangel. Den kommer framöver att få bli en rolig avslutning som får sätta punkt för arbetsområdet.

Värdeorden i kunskapskraven- kejsaren är naken

I november 2015 publicerade Skolverket rapporten “Skolreformer i praktiken“ om hur skolreformerna 2011-2014 landade i grundskolans vardag. Ni som läst tidigare texter jag skrivit vet att jag och många andra lärare, varit kritiska till de så kallade värdeorden i kunskapskraven. I rapporten analyseras problemen med värdeorden och det visar sig att lärare uppfattar värdeorden som luddiga, relativa och tolkningsbara. När rapporten kom tyckte jag inte att Skolverket tog problemen med värdeorden på tillräckligt stort allvar trots att det visat sig att en stor majoritet av lärarna upplevde detta som det enskilt största problemet med LGR11. Framförallt kände jag mig frustrerad av att ingenting hände efteråt, mer än att ytterligare stödmaterial produceras. Detta trots att många lärare som Skolverket intervjuat i rapporten inte tycker de materialen löser problemet med värdeorden.

Strax innan sommarlovet i år upptäckte jag att bilagorna till rapporten var publicerade och tillgängliga för nedladdning. Jag har länge försökt att ta reda på grunderna för konstruktionen av kunskapskraven och vad som låg bakom den form de har. I en bilaga med titeln ”Bedömning” återfinns svaren på alla frågor jag haft under årens lopp och som för varje år spätt på frustrationen. Ett helt kapitel ägnas till konstruktionen av kunskapskraven där ambitionen är att ge en bakgrund som kan förklara det som många lärare upplever som stötestenar med LGR11. Det är den mest detaljerade beskrivning av processen som jag kunnat läsa hittills. Samtidigt är det en för mig skrämmande läsning om hur kompromisser utifrån det på förhand omöjliga uppdraget har lett till att man lagt problemen i lärarnas knän.

I bilagan  står att läsa om de utgångspunkter som låg till grund för arbetet med kunskapskraven:

(Bedömning, s. 47)

Här kan jag konstatera att det naiva målet var att kunskapskraven skulle skrivas för att alla intressenter skulle förstå. Istället blev resultatet, enligt mig, att ingen förstod. Lärare upplever stora problem med att förstå vad värdeorden i kunskapskraven betyder och vilka kunskaper som faktiskt motsvarar olika nivåer. Den gemensamma begränsade begreppsapparaten som valts tenderar att också begränsa möjligheten att förstå. Eller som jag beskrev det i en annan text om värdeorden:

Metaforiskt skulle man kunna säga att värdeorden för lärare är som om en kirurg tvingas använda skalpell med ett trubbigt blad enbart för att patienten inte ska skära sig på den

Uppdraget är naturligtvis inget som Skolverket ska belastas för men såhär i efterhand är analysen lätt att göra, vilket Skolverket också gör i sin bilagan till rapporten. Det är den kanske mest självkritiska text jag någonsin läst av en myndighet.

Skolverket beskriver hur arbetsgrupper för de olika ämnena inledningsvis fick formulera utkast till kunskapskrav men att de inte hann arbeta så mycket med själva kunskapskraven på sina träffar, dels för att de andra delarna (centralt innehåll och syfte) tog mycket tid men också för att arbetet upplevdes som svårt. Allt eftersom tiden gick minskade gruppen med ansvar för kunskapskraven för att slutligen landa i projektledarnas händer som styrde mot slutresultatet trots att detta arbete var det kanske svåraste.

(Bedömning, s. 45)

(Bedömning, s. 46)

Skolverket beskriver några olika kompromisser de fick göra när de formulerade kunskapskraven och hur de utgått från reviderade varianter av olika taxonomier. Bland annat beskriver de hur de valde en dominans av jämförande uttryck (värdeord) snarare än beskrivande uttryck av kunskapen för att undvika en “trappliknande” syn på kunskap vilket man ville komma ifrån med tanke på hur bedömningspraktiken såg ut under Lpo 94. 

(Bedömning, s. 58)

Samtidigt fanns en intern kritik mot detta vägval:

(Bedömning, s. 59)

Jag kan konstatera att resultatet av valet i praktiken blev att lärare sökte svar över vad olika nivåer innebar i  enskilda elevexempel i bedömningsstöd och i de nationella proven som en konsekvens av värdeordens vaghet.

2011 fastslogs kunskapskraven i den form vi känner igen från LGR11s kursplaner. Slutsatsen som Skolverket drar i slutet av bilagan angående det uppdrag de hade och de val som gjordes inom ramen för uppdraget är kanske det sorgligaste jag läst på länge men ack så sant. Det Skolverket här beskriver är hur de olika kompromisserna vid konstruktionen av kunskapskraven decentraliserats och blivit problem i lärarnas knä:

(Bedömning, s. 63)

Kompromisserna har alltså lett till att lärarna som ska tillämpa kunskapskraven på genomförandenivån och sätta likvärdiga betyg har fått en rad nya omfattande arbetsuppgifter att hantera. Det handlar bl.a. om kravet att tydligt kunna motivera betyg till elever och föräldrar, kunna beskriva kunskapsutveckling i förhållande till kunskapskraven och att tolka och konkretisera värdeorden i förhållande till ämnesinnehållet. Allt detta ska alltså ske på ett luddigt språk som lärarna tilldelats och som är skapat ur kompromisser. Ovissheten och vagheten har enligt mig blivit ett slags arbetsmiljöproblem.  

Denna svidande självkritik följs av några rader som utgår från den samtid i vilken kraven konstruerades och formulerades, något som med rätta skulle kunna uppfattas som en enorm kritik av det omöjliga uppdrag Skolverket tilldelades inledningsvis, dvs. att tillgodose alla intressenter genom ett och samma språk:

(Bedömning, s. 65)

Efter rapporten “Skolreformer i praktiken“ (2015) har det varit tyst. Några nya bedömningsstöd och kommentarmaterial har publicerats men när det gäller problematiken med värdeorden finns ingen plan. Jag tycker det står klart efter en sådan svidande kritik både inifrån Skolverket och utifrån från lärarna att kunskapskraven i sin helhet behöver revideras eller skrivas om så att inte kunskapskravstolkning tillåts tillägnas större tid för lärare, elever och föräldrar i skolan än undervisning, kunskapsinhämtning och tydlig information. Nu när kejsaren är naken kanske det är möjligt?

Lästips:

Med egna ord är bilaga 5 till rapporten “Skolreformer i praktiken“. Där beskriver lärare med egna ord sin upplevelse av reformerna.

Kunskapskravens värdeord- läroplanens svarta får

Värdeorden i kunskapskraven- vem tar ansvar för den undervisningpraktik vi skapat