Sista inlägget

Det här är mitt sista inlägg som ämnesspanare på lrbloggar.se. Jag har skrivit texter under tre läsår som behandlat frågor som jag tror och hoppas berört lärares vardag. Jag har skrivit en del texter om matematikundervisning, några texter om undervisning i So-ämnen och även generella texter om sådant som berör det dagliga lärararbetet om än på en övergripande nivå. Jag har skrivit om saker jag tycker bör förändras och sådant jag tycker fungerar bra. Totalt har det blivit ungefär 60 inlägg med olika innehåll och säkerligen också olika kvalitet. Alla texter har dock i grunden skrivits med en vilja att belysa verkligheten, oavsett om de handlat om ren undervisning eller system- och styrdokumentsfrågor. Jag vill passa på att tacka för positiv respons men även kritiska kommentarer av er som läst inläggen.

Idag står skolan inför svåra utmaningar. Det finns inte tillräckligt många lärare och skolresultaten är inte så bra som de kanske borde vara. Givetvis finns det rätt tydliga orsaker till varför det ser ut så också. Samtidigt finns det en mängd lärare som gör ett fantastiskt arbete varje dag. Vi vet att läraryrket är världens viktigaste arbete och att det också kan vara världens bästa yrke när bra förutsättningar ges. Just därför är det viktigt att vi lärare fortsätter att yttra oss om skolan och vad som sker där samt hur vi påverkas just eftersom vi kan den delen bäst. Det är vi som ska synas och höras när skolans viktiga frågor behandlas vare sig det handlar om didaktiska frågor, organisatoriska frågor eller frågor om styrdokumenten (våra arbetsredskap). Jag hoppas och tror att alla ni som läser/skriver och tycker till om skolan fortsätter med det och håller fanan högt även framledes.  

/Nicklas Mörk

 

Uppesittarkväll med matematik på schemat

Kan man ha en uppesittarkväll i matematik som lockar elever. Javisst kan man det. Nu på onsdag arrangerar vi på min skola precis som förra året en uppesittarkväll för de elever som vill nöta matematik lite extra inför stundande nationella prov. Förra året bjöd vi in eleverna i åk 8 och 9. Ungefär 40 elever deltog då varav de flesta var elever från årskurs 9. I år bjuder vi in alla elever från årskurserna 7-9. Eleverna får möjlighet att komma till skolan mellan 17.00 och 20.00 och kommer där mötas av uppgifter av olika karaktär utifrån deras enskilda behov och önskemål. Vi ger också eleverna smörgås och saft.

Man kan argumentera om det är bra eller dåligt att förbereda sig på detta sätt inför nationella provet. Vi har en annorlunda utgångspunkt. Vi vill att eleverna ska mötas och samtala om matematik under trivsamma former och på så sätt sända positiva signaler inför framtiden. Jag kan förstå att eleverna i åk 7 kan tycka att det är lång tid kvar på högstadiet men hoppas att några kommer dit för att få möta de äldre eleverna och se hur de tar sig an uppgifterna de får möta. Jag skulle önska att vi oftare kunde erbjuda dessa tillfällen som ofta ger mycket över årskursgränserna.

I första hand har vi förberett problemlösningsuppgifter och uppgifter som testar hur väl eleverna känner till begrepp och metoder med koppling till de olika centrala innehåll som eleverna mött eller kommer att möta på högstadiet. Utöver det har vi förberett några större uppgifter av utredande karaktär. Vår erfarenhet från förra året var att eleverna, både de som gick i årskurs 8 och 9, kunde arbeta lång tid med både de traditionella problemlösningsuppgifterna och med de utredande uppgifterna. De flesta höll fokus samtliga tre timmar vi var där men det var såklart helt okej för eleverna att komma dit enbart en timme om de ville det. Min förhoppning är som sagt att många elever kommer och att de yngre eleverna får en positiv upplevelse av matematik inför kommande läsår. En annan förhoppning är också att de elever som snart ska genomföra de nationella proven känner sig än mer rustade inför det efter kvällen.

 

Bråkräkning på uppgång?

När eleverna lämnar grundskolan och börjar gymnasieskolan kan olika elever såklart olika mycket i matematik. När det gäller elevers förmåga att hantera, förstå och göra beräkningar med bråktal visar Ifous utvärdering av det diagnostiska prov som elever i Stockholm gjort sedan 2011 att inte ens hälften av eleverna kan subtrahera bråktal med olika nämnare när de lämnar grundskolan och endast en femtedel av eleverna kan dividera bråktal. Ungefär hälften av eleverna kan bestämma en gemensam nämnare till två bråktal. Det här är naturligtvis inte acceptabelt med tanke på att bråktal är något eleverna arbetar med varje år i grundskolan. Eleverna möter alltså innehållet nio år i rad utan att alla når fram till att kunna ovanstående. Något som utvärderingen också visar är glädjande nog att andelen som behärskar bråkräkning ökar för varje år. Med det i bakhuvudet kan vi naturligtvis ana varför resultatet i internationella mätningar också sett ut som de gjort. 

I kursplanen för matematik i grundskolan syns idag tydligt i det centrala innehållet att alla elever möter området många gånger under sina år i grundskolan. I åk 1-3 bekantar sig alla elever normalt med bråkbegreppet. Eleverna arbetar med “del av hel” och “del av ett antal”. De kommer också i kontakt med begreppen täljare och nämnare. I kunskapskraven för åk 3 står: “Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk”, alltså en ganska tydlig formulering.

I åk 4-6 får elever storleksordna bråktal och resonera/motivera detta genom olika strategier för att bygga upp kunskap om begreppet. Eleverna får ofta också addera och subtrahera bråktal med lika nämnare när de använder dessa i vardagliga situationer. Många elever lär sig utöver det förlänga och förkorta bråk redan på mellanstadiet. Multiplikation och division av bråk är ovanligare även om det såklart behandlas av några elever. I åk 7-9 lär sig eleverna “centrala metoder för beräkningar med tal i bråk-och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder”. Här ingår alltså bl.a att kunna addera, subtrahera, multiplicera och dividera bråktal. I kunskapskraven för både åk 4-6 och åk 7-9 står inte lika explicit vilken kunskap eleven ska ha från det centrala innehållet men det finns formuleringar om begreppslig kunskap och kunskap om metoder som ska fungera tillfredställande.

Det som i läroplanen i några få formuleringar ser enkelt ut tenderar alltså att inte vara så enkelt i praktiken. Något som utvärderingen dock visar är att det skett en förbättring inom samtliga områden sedan 2011 vilket kan bero på att bråkräkning uttrycks tydligt i det centrala innehållet i läroplanen vilket det inte gjorde i föregående. Satsningar som matematiklyftet har också tryckt extra mycket på kunskap om bråk i modulen om taluppfattning i såväl åk 4-6 som 7-9. Många matematiklärare har genomgått matematiklyftet vilket eventuellt kan ha påverkat grundskolans undervisning. Formuleringarna i kunskapskraven i åk 4-9 är dock abstrakta på så sätt att elever för betyget E inte nödvändigtvis behöver kunna exempelvis dividera bråk beroende på lärares tolkning av relationen mellan centralt innehåll och kunskapskrav. Vad tillfredställande resultat betyder kan alltså te sig olika för olika lärare.

Eftersom kunskaper om bråk både handlar om att förstå begreppet och att kunna olika metoder/procedurer kan det hända att en orsak till att elever inte behärskar bråkräkning är att det saknats balans mellan dessa två aspekter i undervisningen. En elev som bara tränats i procedurer men inte förstår innehållet i procedurerna tenderar att stöta på bekymmer. Likaså kommer elever som enbart undervisats om begreppet stöta på hinder när de inte har någon kunskap om procedurer. Givetvis existerar inte denna extrema beskrivning men jag brukar själv reflektera över balansen mellan dessa aspekter.

Framöver hoppas jag trots det dåliga resultatet på diagnosen att den positiva trenden fortsätter och att snart majoriteten av grundskolans elever även kan dividera bråk när de börjar gymnasiet och att de kan motivera varför det blir som det blir. 

Värdeorden i kunskapskraven, lärplattformarna och NPM

I rapporten Skolreformer i praktiken beskriver Skolverket hur de olika kompromisserna vid konstruktionen av kunskapskraven har decentraliserats och blivit upp till lärarna att hantera på genomförandenivån:

“Lärarna – som är längst ut i ledet och de som ska tillämpa kunskapskraven i sin dagliga verksamhet – är de som får leva med och hantera de ambivalenser som kunskapskraven inrymmer till följd av den spänningsfyllda konstruktionsprocessen. Motsättningar mellan olika behov och kanske synsätt har på så sätt inte upplösts, utan decentraliserats ut från den centrala politiska och byråkratiska nivån, till lärarna på genomförandenivån”. 

(Ur: Bedömning s. 63)

Vid en första anblick skulle detta kunna låta som en del av en professionaliseringsprocess, dvs. att lärarna hanterar och reglerar frågorna om kunskap och likvärdighet själva inom lärarkollegiet, en form av ökad autonomi. Men så enkelt är det inte. Lärarna har i praktiken inte det mandat och den tillit som krävs för att hantera de så kallade ambivalenser och den abstraktionsnivå som kunskapskraven inrymmer. Det beror mest troligt på att kraven skrevs med många olika mottagare/intressenter i åtanke, alla med sina specifika krav och behov. Kraven dröjde inte utan ställdes direkt på lärare att konkretisera, motivera och dokumentera hela processen från planering till bedömning med tillhörande feedback, något som också kommit att betraktas som mer värt om den är skriftlig. Det har kommit att styra lärares undervisningspraktik och kan förstås som ett av de symptom som uppstod när kunskapskravens formuleringar började andas samma luft som marknadsstyrningen, det som vi kallar NPM. Med marknadsstyrningens krav på att vara inspektionsbar gick flera saker förlorade. Allt kan inte konkretiseras eller uttryckas i skrift men är ändå att betrakta som yrkesskicklighet, sådant som utgör lärares tysta kunskap. Lärares erfarenhet att möta olika typer av oförutsedda situationer, att kunna anpassa sin undervisning efter hur eleverna möter och bemöter innehållet är inte längre lika mycket värt som att bocka av kunskapskrav i matriser och på så sätt “bevisa” att en elev lärt sig något. Bildningstanken har hamnat ute i periferin.

Jag skulle vilja peka på några saker som växt fram i anslutning till kunskapskraven såsom de formulerades och som jag vill påstå styr hur undervisningspraktiken ser ut runt om i landet. Jag menar att lärares handlingsutrymme har inskränkts och tror att vägen ur detta kanske är en ännu tydligare styrning genom kursplanerna som möjliggör för lärare att fokusera på undervisning och bildning genom att kursplanerna renodlas till att enbart vara lärares arbetsdokument. 

Den första faktorn som jag redan har lyft i texten ovan är det faktum att kraven skrevs som ett arbetsredskap för lärarna likväl som de skulle förstås av vårdnadshavare och vara möjliga att förklara för och diskuteras med elever. I samband med att LGR11 kom fick pedagogiska idéen BFL genom Christian Lundahl stort genomslag i svenska skolan. Idéer om att eleverna exempelvis skulle känna till intentionerna med undervisningen, känna till vad och hur de skulle bedömas på ett arbetsområde samt få reda på vad som kännetecknade kvalitet genom olika former av feedback och så vidare skulle utveckla undervisningen. Begrepp som baklängesplanering (att man utgår från kunskapskraven när man planerar sin undervisning) gav lärare redskap för hur man kunde hantera den nya läroplanen i planeringsprocessen. Samtidigt gjorde styrningen av skolan (NPM) att kraven på kommunikation och dokumentation ökade, inte bara på skolan utan i förlängningen också på lärarna. På så sätt växte ett slags byråkratiska pseudovarianter av dessa pedagogiska idéer fram där minutiös bedömning efter kunskapskraven fokuserades mer än den uppgiftsspecifika återkopplingen. 

På många håll beslutades ovanifrån att lärarna skulle inleda arbetsområden med att tillsammans med eleverna gå igenom så kallade lokala pedagogiska planeringar (LPP) där dels arbetsområdets syfte och innehåll skulle specificeras men också information om vilka olika kunskapsnivåer eleverna kunde uppnå under området vilka oftast tydliggjorts i en matris (i skrift). Inte sällan fanns/finns krav från ledningshåll att dessa ska läggas upp på skolans hemsida eller genom en så kallad lärplattform för elever och vårdnadshavare att beskåda (och därmed också tolka). Jag har läst många så kallade lokala pedagogiska planeringar som i min värld mest handlar om att hålla ryggen fri. För inte kan väl en elev på förhand veta vad ett kunnande innebär bara för att de läser abstrakta kunskapskrav i en matris? Och inte kan väl en vårdnadshavare förstå kopplingen mellan kunskapskravens formuleringar och det aktuella arbetsområdet samt hur det området värderas vid betygsättning bara för att man har läst en lokal pedagogisk planering i vårt komplicerade system? Inte kan vi väl tycka att det är viktigare för eleverna att kunna recitera ett kunskapskrav än att ha själva kunnandet eller förståelsen av ett innehåll? Allt kan inte formuleras med ord innan undervisningen inom området startat. Undervisning växer oftast fram i mötet mellan lärare, elever och innehållet. Ingen annan yrkesgrupp än lärare avkrävs att med precision kunna kommunicera ett innehåll på ett språk som någon annan kommit på och som mottagaren inte kan eller förstår.Den andra faktorn jag vill lyfta är den inte allt för stora mängd lärplattformar som byggdes för att möta kraven på dokumentation och kommunikation. Det finns ett antal stora aktörer men som enligt mig har fått en alldeles för stor inverkan på praktiken. Redan från start lyftes kritik mot att en del lärplattformar formulerade om kunskapskraven till “lättare svenska”, allt för att de skulle förstås ännu bättre av elever och vårdnadshavare. Kritiken bottnade i att omformuleringar också gjorde om kravens betydelse och att dialogen mellan lärare och elev därmed inte blev densamma. Tolkningen av kunskapsbegreppet lämnas då över till lärplattformsföretagen. De allra flesta lärplattformar har funktioner som gör att lärare kan klicka i de delar av kunskapskravet som man fokuserar bedömningen på redan i sin planering. Dessa delar bedöms i slutet av arbetsområdet och läraren klickar i elevens kunskapsnivå vilket sedan kommuniceras med elev och vårdnadshavare. Men är det verkligen så intentionen med kunskapskraven var? Vad säger den kommunikationen om betyg och betygsättning? Och kan ett kunskapskrav hackas upp såsom lärplattformarna gör? Svaret är enkelt, nej.

Lärplattformarna har kunden i centrum. Men vilken kund? Vissa av plattformarna går tydligt ut och säger att det är föräldrarnas krav på kommunikation som ska tillgodoses vilket ju är en ärlig beskrivning medan andra är mer tillbakadragna och åtminstone på pappret hävdar att det är lärarens behov att kommunicera något som styr plattformens konstruktion och funktioner. Oftast hävdar plattformarna att de utöver en kommunikationslösning också är en pedagogisk lösning. Jag har aldrig sett en pedagogisk lärplattform. I och med att de allra flesta kommuner inför lärplattformar som fungerar på det här sättet och kräver att lärarna ska använda dem vill jag påstå att lärares autonomi snarare reduceras. Kunskapskraven hackas upp i delar som i plattformen ser ut att bedömas var för sig vilket också är det som kommuniceras till vårdnadshavare. Kunskapskraven reduceras till en avprickningslista både för eleverna, vårdnadshavarna men också skrämmande nog för oss lärare. Lärplattformarna är statiska, saknar användarvänlighet och har inte ett uns av lärares tysta kunskap. Det påverkar undervisningen, vare sig vi vill det eller inte. En plattform som används för kommunikation kan jag köpa men då måste den uteslutande utgå från skolans behov att säga något och renodlas till det. Jag skulle vilja se en granskning av plattformarna såsom de ser ut och används idag. 

Så hur kan vi finna en väg ur denna praktik? Kanske kan vi snegla på kursplaner i några andra länder. Tittar vi exempelvis på kursplanen för matematik i Singapore anges där dels ett centralt innehåll men också vilken typ av aktiviteter och upplevelser eleverna har rätt att möta genom undervisningen. Det kan tyckas vara en inskränkning av lärares professionella frirum. Men det är fortfarande läraren som ska planera en undervisning som möjliggör dessa upplevelser och tillfällen att lära för eleverna. Kursplanerna i Singapore är mycket längre än de svenska i respektive ämne. Det framgår tydligt både vad man anser vara ämnets syfte men man tar också tydligare ställning för processer/arbetsmetoder som har sin grund i vetenskap jämfört med Sverige som överlämnar detta ansvar till den enskilda läraren. Det gör att den röda tråden och progressionen mellan årskurserna framträder mycket tydligare, en tydlighet vi inte kan finna i de svenska kursplanerna där man inte ser skillnad på kunskapskraven i åk 3 och de i den sista gymnasiekursen. Det går tydligt som lärare att läsa vad i de senare årskurserna som bygger på vad eleverna läst tidigare i skolan.

Den här typen av styrning står att jämföra med det centrala innehållet vi har i Sverige, där varje lärare genom lärplattformarnas konstruktion tvingas göra val så att undervisningen är utvärderbar utifrån den aktuella plattformens kommunikationsmöjligheter med vårdnadshavarna och plattformsföretagens tolkning av kunskapskravens konstruktion. Skola på vetenskaplig grund blir därmed ett kollektivt projekt i Singapore och ett individualiserat i Sverige där andra intressenter styr. Med det hamnar också kraven i den enskilde lärarens knä i Sverige. Jag vill påstå att en tydligare styrning i kursplanerna snarare kunde stärka lärarna, värdesätta lärares erfarenhet och yrkesskicklighet och samtidigt bygga på vetenskaplig grund. Vi vill ju trots allt att de elever som kan mest ska komma in på en populär högskoleutbildning före en annan elev som kan mindre. Kanske är det dags för Sverige att ta en annan väg än målstyrningens då själva betyget och kriterierna tenderar bli viktigare än kunskapen som betyget ska uttrycka? Planering, undervisning och bedömning kan inte andas samma luft som NPM utan att bli sjuk. Det enda sättet vi kan komma ifrån en praktik där begrepp kapas och blir antingen politiska slagträn eller tas som bevis för att byråkratisera och juridifiera läraryrket är att vi frigör oss från marknadsstyrningens bojor och sätter undervisning och bildning i centrum, på riktigt.

 

Lästips:

http://pedagogiskamagasinet.se/starkt-fokus-pa-malen-ger-snav-syn-pa-larande/

http://lrbloggar.se/nicklasmork/kunskapskravens-vardeord-laroplanens-svarta-far/

http://lrbloggar.se/nicklasmork/vardeorden-kunskapskraven-kejsaren-ar-naken/

Så kan man organisera programmeringsfortbildning lokalt

Till hösten ska vi matematiklärare arbeta efter de nya formuleringarna i kursplanerna i och om programmering. Jag har länge väntat på implementeringsinsatser lokalt, regionalt och/eller nationellt. En tid in i höstterminen insåg jag att tiden bara gick och att jag skulle blivit gammal om jag inte  tillsammans med mina kollegor försöka presentera en lösning som rektor kunde “köpa”. Visst kanske vi i matematiklärarkollegiet på min skola skulle behövt även extern input men den här terminen valde vi att lösa arbetet så här för att känna oss någorlunda förberedda till hösten:

  • I terminsplaneringen har träffar för programmeringsgruppen (som består av alla lärare på skolan som undervisar i matematik eller är behöriga i ämnet) planerats in varannan (i enstaka fall var tredje) vecka under den gemensamma konferenstiden vi har varje vecka på skolan. Matematiklärarna undantas från eventuellt utvecklingsarbete som sker under den tiden och fokuserar på programmering. 
  • Jag förbereder material och innehåll inför träffar som hålls varannan (i enstaka fall var tredje) vecka under konferenstid. Den tid som krävs för att förbereda träffarna ersätts jag givetvis för, “timme för timme”. Jag har bland annat plockat delar från Malmös fortbildning i matematisk programmering i Python som jag tycker är ett föredöme på området och förberett mig att själv kunna förklara innehållet och också kunna motivera kopplingen till ett matematiskt innehåll varje träff.
  • Parallellt med dessa träffar genomför jag en liten minikurs inom ramen för “Elevens val” om just matematisk programmering i Python där syftet från min sida är att få upp ögonen för vilka hinder eleverna kan möta dels vad gäller programmering men också i förhållande till hur de använder programmering som verktyg för att lösa matematiska problem, vilket senare kan diskuteras i programmeringsgruppen.
  • Det tid arbetet med uppgifter/programmeringsträning samt repetition som matematiklärarna arbetar med mellan träffarna tar ersätts lärarna för.
  • Vi kan också om vi önskar åka på en av Skolverkets konferens om programmering i skolan.

På våra gemensamma träffar har fokus inledningsvis legat på själva programmeringen, dvs. grunderna i Python och inte så mycket på den didaktiska aspekten av programmeringsundervisning än. Jag tänker mig att vi längre fram under terminen naturligt kommer komma in i de diskussionerna allt mer.

Sedan flera år tillbaka träffas vi matematiklärare en gång i veckan för att diskutera vår undervisning, stämma av arbetet med varandra och hjälpas åt med olika saker (t.ex. sambedömning). Den stående gemensamma tiden ligger kvar även nu när vi fortbildar oss i programmering så att det dagliga arbetet kan fortskrida som förr. För att allt det här skulle fungera har en nyckel varit att vår ledning litat på oss och att vi kan vårt jobb samt vet vad som kommer krävas av oss framöver genom att lyssna på vårt förslag till en lokal fortbildningsgrupp. Genom det har ledningen också förstått att vi lärare behövt tid för detta och möjliggjort det i dialog med oss. Vi kommer sannolikt stå på skakiga ben även i höst när vi ska börja arbeta efter de nya formuleringarna men vi har kommit ett steg på vägen. 

Introducera algebra

Var uppstod behovet av att använda variabler i matematik? Började man använda bokstäver (eller andra symboler) för att beteckna ett okänt tal eller för att beskriva ett samband? Eller kanske något helt annat? I vilken situation upptäcktes värdet av att använda symbolerna? Hur sker användningen idag? Detta är några av de frågor jag och en matematiklärarkollega ställde oss själva när vi planerade för att introducera området algebra i åk 7 detta läsår. På mellanstadiet har de flesta elever mött enkla ekvationer i någon mån och många har även provat att formulera enkla uttryck. Min erfarenhet är dock att få elever byggt upp säkerhet kring begrepp och metoder inom algebra innan de börjar årskurs 7. Normalt brukar vi på min skola introducera området med att undervisa om ekvationer med fokus på balansmetoden följt av att efter det fokusera på att formulera och förenkla uttryck samt sätta in värden i uttryck och sedan lösa problem med hjälp av ekvationer.

I år beslutade vi oss för att arbeta på ett sätt som i mångt och mycket börjar i en annan ände än vad vi brukar. Vi ville att eleverna skulle upptäcka att de utan vissa begrepp och metoder skulle tvingas göra ett jobbigt och hårt arbete för att på så sätt sedan få upptäcka och förstå värdet av nya viktiga matematiska metoder/begrepp som i sin tur förenklar arbetet. Vår förhoppning var att fler elever skulle få upp ögonen för hur matematiken kan användas samt att det finns ett motiv och ett behov som någon gång någonstans vuxit fram. 

 

Formulera uttryck och sätta in värden

Vi började med att undervisa om uttryck. Vi bad eleverna skissa en rektangel där ena sidan var 3 (längdenheter) längre än andra sidan. Vi bad också eleverna skriva ned en beräkning för omkretsen på sin rektangel. Sedan fick eleverna jämföra sina skisser och diskutera frågor som:

  • Har alla ritat samma rektangel?
  • Varför har vi ritat olika när alla fick samma uppgift?
  • Är det någon som har gjort fel?
  • Har alla rektanglar samma omkrets? Varför/varför inte?   

Efter den diskussionen bad vi eleverna rita alla rektanglar där ena sidan var tre (längdenheter) längre än den andra sidan. Många elever är lojala och sätter igång att rita ett stort antal medan andra protesterar och menar att det finns oändligt många och att det skulle ta oändligt länge att skissa upp. Det var denna jobbiga känsla vi ville åt så att eleverna skulle “känna” värdet av att beteckna sidorna med variabler. Eftersom de allra flesta av eleverna åtminstone stött på variabler tidigare benämnde vi sidorna enligt bilden nedan:


Eleverna fick återigen skriva en beräkning för omkretsen på rektangeln vilket nu blev en slags introduktion till begreppet uttryck och hur det hörde samman med den beräkning de gjort tidigare med värden. På så sätt hade vi både introducerat begreppen variabel och uttryck och också visat eleverna en situation där det kan vara motiverat att använda sig av dessa. Efter detta fick eleverna testa att sätta in olika värden för a och beräkna omkretsen för rektangeln. Vi började med enkla värden som eleverna lätt kunde behandla i huvudet för att sedan ersätta dessa med decimaltal där miniräknare underlättar arbetet. Slutligen lyfte vi upp diskussionen om det kommunikativt och/eller matematiskt spelar någon roll om vi uttrycker oss med eller utan parenteser när vi beskriver rektangelns omkrets (se nedan).

a = 2 cm

Omkretsen = 2 cm + 2 + 3 cm + 2 cm + 2 + 3 cm = 14 cm  eller

Omkretsen = 2 cm + (2 + 3) cm + 2 cm + (2 + 3) cm = 14 cm

Vårt nästa steg var att lyfta fram behovet av att kunna förenkla för eleverna. Genom att konstruera en månghörning (ungefär enligt figuren nedan) fick eleverna formulera ett uttryck för omkretsen som inte var lika lätt att hantera som det för rektangeln. Sedan ägnade vi stor del av lektionen till att låta eleverna sätta in olika värden i uttrycket och beräkna omkretsen (både heltal och decimaltal). Alla elever arbetade hårt med detta och några förenklade själva uttrycket utan att ha fått undervisning om det men vi bad dessa att hålla på lösningen en liten extra stund, allt för att eleverna skulle få kämpa lite (observera att det här kan vara en utmärkt övning i att öva prioriteringsreglerna etc.). När alla kämpat med dessa övningar en tid frågade en elev om det inte fanns något enklare sätt, en genväg. Då visade vi eleverna hur man kunde förenkla uttryck och att det verkligen förenklade arbetet när man sedan skulle sätta in värden för vilka omkretsen skulle beräknas.


Efter dessa övningar gick vi över till att arbeta med problemlösning. Vi ville genom dessa introducera ekvationslösning som en strategi för att lösa problem. Eleverna fick i turordning arbeta med följande två problem:

Som synes blir det andra problemet “otympligt” att arbeta med om man endast gissar/provar sig fram i tabellform som många elever gör innan de arbetat med algebra.

Först efter alla dessa övningar fick eleverna undervisning i hur man löser ekvationer med den sk. “balansmetoden”.  Vår upplevelse är att det gått minst lika bra att introducera avsnittet algebra på detta sätt och i denna ordning som tidigare när vi inledde med balansmetoden för att senare bygga på med undervisning om hur man formulerar begrepp. Om det ena sättet är bättre än det andra låter jag vara osagt men det arbete som vi gjorde det här läsåret kändes mer naturligt för både oss lärare och eleverna, kanske för att vi försökt utgå från att belysa det behov som någon gång uppstått genom historien.

Men hur var det nu med frågorna jag ställde inledningsvis i texten om den historiska aspekten av algebra? På länken nedan finns en liten sammanställning över de tidigaste kända exemplen på användning av symboler för variabler (tack Mattias Danielsson för länk).

http://jeff560.tripod.com/variables.html

Höga förväntningar i skolan 2018?

I morgon börjar de flesta lärare åter arbeta efter julledigheten. Enligt forskningen sägs det vara mycket viktigt för lärare att ha höga förväntningar på alla elever i skolan. Begreppet “förväntningar” är i sin tur tätt sammankopplat med begreppet “förtroende”. Jag antar att samma sak gäller övriga relationer i skolan? Jag som lärare har ju inte bara förväntningar på eleverna utan också på mina kollegor, min chef och till syvende och sist också kommun och stat som styr skolan. Det vore väl ypperligt om dessa förväntningar också kunde vara höga och att vi kunde ha ett stort ömsesidigt förtroende för varandra? Kanske är det möjligheten att ha höga förväntningar i alla skolans led som kan göra skolan till en attraktiv arbetsplats? 

Men möjligheten för alla intressenter att ha höga förväntningar har givetvis ett pris. Varför? Varje förväntan på något får också en konsekvens, både när förväntan infrias men också när den inte infrias. På ett sätt är det genom dessa processer som förtroende byggs upp. När det gäller förtroende bygger vi lärare upp förtroendekapital till eleverna genom vårt arbete och vår undervisning. Ibland gör vi uttag av det förtroendekapitalet, dvs. att vi gör saker som gör att förtroendet hos eleverna minskar. Oftast har vi råd med “uttag” då vi genom undervisningen också gjort “insättningar”. Förtroendekapital byggs också upp i skolans andra relationer.

Men vad händer hos den lärare som i lärarbristens tidevarv får en kollega utan eftergymnasial utbildning utan en gedigen organisatorisk plan? Kan läraren ha höga förväntningar utan att bli besviken? Vad händer då med förtroendet? Hur ska den lärare som får använda omoderna läromedel i historia som skrevs strax efter järnridåns fall kunna ha höga förväntningar på innehållet i texterna och samtidigt se sig själv i spegeln? Hur ska lärare som får höra att skolan inte har råd med fortbildning kunna ha höga förväntningar på sin chef som fått en för liten pengapåse? Och hur ska chefen i sin tur kunna ha höga förväntningar på förvaltningen och kommunerna när inte pengapåsen räcker till alla poster pga. effektiviseringskrav? Man kan inte fortsätta ta ut pengar i en bankomat hur länge som helst. Likadant fungerar det med förtroendekapital. Det är givetvis ingen lätt ekvation och alla beslut får sina konsekvenser, både ekonomiska och praktiska, men visst vill jag att hela styrkedjan i skolan ska genomsyras av höga förväntningar och ett högt förtroende som samtidigt klarar av att stå emot kritik från olika håll. Någonstans där står läraryrkets attraktivitet att finna tror jag.  

Nåja, låt mig lägga undan konsekvenserna och de eventuella kostnaderna som de höga förväntningarna får för skolan en stund och låt mig drömma kring mina förväntningar inför 2018. Här kommer min lista. Ni får själva avgöra om förväntningarna är höga, låga eller bara rimliga.

Under 2018 förväntar jag mig att:

  • alla de politiska partierna talar högt om hur de på systemnivå vill skapa förutsättningar för skolan att lyckas och lägger sig inte i detaljfrågor
  • Skolverkets påbörjar och är transparenta kring sin systematiska utveckling av styrdokumenten där kunskapskraven ska revideras
  • min undervisning blir minst lika bra eller bättre än förra året 
  • jag känner mig säker på hur jag ska undervisa om/i programmering vid matematisk problemlösning innan sommarlovet
  • andelen lärare som drabbas av arbetsrelaterad sjukdom minskar drastiskt och att det genomsnittliga antalet sjukdagar bland lärare minskar
  • alla lärare får förutsättningar att hinna med sitt arbete (med kvalitet) inom ramen för sin arbetstid 
  • matriser aldrig tillskrivs större värde än innehållet i undervisningen
  • pseudovetenskaper såsom lärstilar inte får något utrymme alls
  • formuleringen “särskilt beaktas”, som används gällande vilken vikt nationella proven ska ha vid betygsättning, tydliggörs 
  • lärare på skolor runt om i Sverige får välja bland olika läromedel, efter behovet, när de planerar sin undervisning istället för att tvingas välja mellan ett specifikt halvdant läromedel och “inget läromedel”
  • lärares tid till för- och efterarbete av lektioner alltid anpassas till undervisningstiden och antalet elever
  • alla lärare får en sk. “motionstimme” och kan använda den
  • mängden undervisningstid regleras
  • användning av dåliga och (tids-) ineffektiva lärplattformar inte är ett tvång
  • stat och kommunerna alltid tar praktiskt och ekonomiskt ansvar för den praktik som skapas när de inför nya arbetsuppgifter i skolan
  • lärare har tid till återhämtning mitt under sin arbetsdag, dvs. hinner dricka minst två koppar kaffe (eller annat alternativ) på arbetstid varje dag utan att samtidigt arbeta
  • arbetsgivaren betalar kaffet

Det ska poängteras att ovanstående är en högst personlig lista med några av mina egna förväntningar på året. Säkert finns en lång lista med andra saker som är viktiga för just dig och som du förväntar dig. Jag hoppas att ni alla får ett bra år och att många av era förväntningar av 2018 infrias. 

 

“Lådan” – en rik problemlösningsuppgift om volym

Jag har precis börjat med ett arbetsområde om rymdgeometri i åk 9. Inom området har jag bland annat planerat att eleverna ska få träna metoder för att beräkna volym av olika geometriska kroppar samt att enhetsomvandla (volymenheter). Utöver det är tanken att eleverna ska få möta många olika typer av problemlösningsuppgifter och motivera sina lösningar av dessa.

Idag fick eleverna möta en klassisk uppgift som jag valt att kalla “Lådan”. Jag höll i ett A4-papper. Sedan klippte jag bort fyra lika stora kvadrater, en i varje hörn. Efter det vet jag in sidorna så att en låda bildades. Uppgiften eleverna fick var att beräkna hur stora kvadrater som behöver klippas bort för att lådan ska rymma exakt en liter. En ytterligare fråga jag hade på lager var: “hur stor volym kan lådan maximalt ha”? Den frågan hann vi dock inte behandla denna lektion. 

Till stöd fick eleverna följande bild där också måtten på ett A4 papper serverades:

Uppgiften är lätt för eleverna att förstå. Det finns flera lösningar på problemet och det finns också olika sätt att ta sig an uppgiften. Inom elevgruppen såg jag snabbt några olika strategier för att lösa problemet. Många provade sig fram med olika mått (på kvadraterna) och närmade sig på så sätt en lösning. Till dessa elever ställde jag frågan om vad som för dem avgjorde vad de skulle prova med för mått, dvs. hur de motiverade sina gissningar? Några elever valde att istället ställa upp en ekvation. En del av dessa saknade det formella språket för att göra det. Till dessa elever försökte jag leda fram eleverna till att formellt ställa upp sambandet mellan sidorna och volymen. En annan elev ställde upp: 1000000 = (297-2x)(210-2x)*x men kunde inte lösa ut x. Jag gav denna elev möjligheten att skriva in ekvationen på Wolframalpha.com och analysera resultatet. Det blev en intressant diskussion kring nedanstående graf och vad de tre röda prickarna kunde innebära samt vilka lösningar som faktiskt var aktuella när det gällde “Lådan”.

Nästkommande lektion ska vi lyfta upp elevernas arbete till diskussion i helklass en liten stund och jämföra de olika lösningarna och sätten att ta sig an uppgiften. Jag gillar generellt den här typen av problem, som attraherar elever på alla nivåer, där alla kan delta och öva sig utifrån sin kunskapsnivå och som samtidigt ger elever som kan mer möjlighet att fördjupa sig. 

Fortbildande implementering eller ensamma lärare?

Om drygt en termin ska vi börja undervisa elever i programmering och dess tillämpning vid problemlösning i både grundskolan och gymnasieskolan. En del skolor och/eller kommuner började redan förra våren planera för detta och har startat implementeringen och den fortbildning som lärare behöver för att kunna behandla detta innehåll i undervisningen. Andra skolor och kommuner har ingen plan alls än. Det ser alltså väldigt olika ut beroende på var man arbetar.

I Malmö finns ett redan planerat fortbildningsupplägg för matematiklärare på gymnasiet och komvux som har ungefär samma form som matematiklyftet. Fortbildningen är redan igång och är planerad över 12 träffar á 2 timmar som behandlar både själva programmeringen (i språket Python 3) och det didaktiska perspektivet. Kursmaterialet är öppet för oss övriga att ta del av. Faktum är att många delar av materialet passar bra i åk 7-9. Ett annat positivt exempel på hur man kan arbeta med programmering i matematik (åk 7-9) är den ambitiösa boken, Programmera i matematik som Staffan Melin skrivit.

I min kommun finns ännu inte något övergripande arbete över hur programmering ska implementeras i matematikundervisningen på högstadiet. Inte heller lokalt på skolan finns ännu någon fortbildningsplan för att utveckla kunskaper om programmeringen och det didaktiska perspektivet samt tillämpningen vid problemlösning (som vi faktiskt ska undervisa i). Jag skrev redan i mars ett inlägg där jag befarade att huvudmän skulle underskatta den tid till fortbildning som programmeringen kräver och som vi lärare har behov av. Men varför låter jag så gnällig? Det kan väl inte vara så svårt att lägga till lite programmering i matematiken?

För att illustrera vad jag menar vill jag utgå från formuleringarna i kursplanen som lyder:

Problemlösning i årskurs 7–9: Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för matematisk problemlösning.” och “Hur algoritmer kan skapas och användas vid programmering. Programmering i olika programmeringsmiljöer.”

Som jag har tolkat skrivningarna ska elever i åk 7-9 möta kod och lära sig skriva algoritmer och använda dessa för att kunna lösa problem. Jag har funderat en del vad det kan innebära? Vilka uppgifter för eleverna skulle naturligt kunna kopplas till dessa skrivningar? I åk 7 har jag arbetat med området “tal” i början av hösten. Där stöter eleverna bl. a på delbarhetsregler och primtal. Här skulle man kunna be eleverna skriva en kod som låter användaren skriva in ett tal och testa om det exempelvis är delbart med 2. Utöver  kunskaper i själva programmeringen behöver eleverna givetvis också matematikkunskaper om vad som kännetecknar tal som är delbara med 2. Här är en bild av hur koden för att lösa uppgiften skulle kunna se ut i språket Python 3. I höger spalt står olika begrepp eleven behöver kunskaper om för att kunna göra detta själv:

Skulle eleverna sedan få en uppgift att skriva kod som istället testar om talet är delbart med 3 ökar svårighetsgraden markant enligt mitt sätt att se det. Här är ett exempel på hur det skulle kunna se ut (koden är långt ifrån perfekt men löser uppgiften):


Vad krävs av vår undervisning för att eleverna ska kunna göra det här på egen hand? Vilka kunskaper behöver eleverna i matematikämnet och vilka begrepp måste eleverna kunna vad gäller programmering? Som du ser är detta givetvis inget som låter sig göras i en handvändning, särskilt inte om man som matematiklärare aldrig själv fått lära sig programmering och hur man kan tillämpa den. Då har vi inte ens talat om hur man lär eleverna både matematiken och begreppen. Svåra frågor som synes.

Ett annat exempel på uppgift som eleverna på högstadiet rimligen skulle kunna ställas inför är inom området geometri där eleverna arbetar med omkrets och area av olika figurer. Programmeringen skulle kunna hjälpa eleverna att finna alla möjliga lösningar på ett särskilt problem, något vi ofta är ute efter i matematikämnet.


Min poäng med dessa exempel är att det inte är enkelt att bara gå in i ett klassrum och undervisa om detta. Det beror på att eleverna förutom själva kunskaperna i programmering också behöver specifika matematiska kunskaper för att programmeringen ska kunna bli användbart vi problemlösning. Vi lärare behöver diskutera vilka uppgifter som är lämpliga att genomföra med elever och vilka matematiska kunskaper och kunskaper om begrepp i programmering som eleverna behöver för att det hela ska bli genomförbart. Med det sagt är det ju en given konsekvens att även vi lärare behöver få tid och hjälp av lära oss att programmera själva då det är långt ifrån alla högstadielärare som överhuvudtaget har provat det tidigare.

För en tid sedan skrev jag en text om Skolverkets utvärdering av reformerna i början av det här årtiondet bl.a. kunskapskraven. Där konstaterar Skolverket att lärarna är de som får leva och hantera de ambivalenser som kunskapskraven inrymmer till följd av den spänningsfyllda konstruktionsprocessen. Motsättningar mellan olika behov och synsätt hade inte upplösts utan decentraliserats ut från den centrala politiska och byråkratiska nivån till lärarna på genomförandenivån. Trots alla lärdomar från olika implementeringsprocesser i bagaget är jag rädd att analyserna i utvärderingarna inte har nått beslutsfattare i tillräcklig grad och att vi återigen gör om misstaget i skolan. Observera att det är den otydliga (obefintliga?) planen inför  implementeringen och inte programmeringen i sig jag är orolig för. En del kommuner/skolor har en gedigen planering för hur implementeringen ska gå till och hur lärarnas (och därmed också i förlängningen elevernas behov) ska mötas. De lärare som jobbar i de övriga kommunerna/skolorna ser återigen ut att lämnas nere på den så kallade genomförandenivån att lösa problemet själva.

Global math project

För någon vecka sedan snubblade jag över en länk till sidan theglobalmathproject.org. Matematikprojektets syfte var att under en vecka i oktober nå miljoner elever världen över och erbjuda en uppgift som är spännande, främjar livliga diskussioner och ger eleverna en oemotståndlig önskan att utforska mer. Från den 10:e oktober och en vecka framåt publicerades material kring berättelsen ”Exploding dots” på sidan. Nu är veckan slut men fortfarande kan du hitta allt material på explodingdots.org som fortfarande uppdateras med nya övningar.

Upplägget börjar med en film där en lärare berättar om en fiktiv maskin som kallas 2 —> 1-maskinen. För att kort sammanfatta filmen handlar den om att på ett lekfullt sätt kunna skriva tal med olika baser. 2 —> 1 handlar alltså om att skriva binära tal medan 3 —> 1 på samma sätt skulle handla om att skriva tal med basen 3. Det hela handlar alltså om att bygga upp förståelsen för positionssystem, hur algoritmer fungerar och att utveckla taluppfattningen hos eleverna. Allt eftersom fördjupas uppgifterna för att passa elever med olika förkunskaper. Samtidigt är första uppgiften så pass enkel och tydlig att den passar till elever i åk 4 lika bra som till elever som läser den första gymnasiekursen.

Varje kapitel i den här berättelsen har ett tema men allt kretsar kring den här fiktiva maskinen. De olika kapitlen handlar om allt från att göra beräkningar med räknesätten (med tal i olika baser) till att dividera polynom. Till varje kapitel finns både analoga och digitala varianter av uppgifterna för eleverna att arbeta med. Dessutom finns lärarhandledning och fördjupande uppgifter att tillgå för lärare. Tyvärr är materialet inte översatt till svenska. 

Något som dock är viktigt att poängtera är att även om materialet har en bra struktur och progression kan det aldrig ersätta lärarrollen vid diskussionerna kring uppgifterna i klassrummet och vid valet av stoff på lektionen. Materialet kräver att läraren reder ut möjliga/eventuella missförstånd och felaktigheter med jämna mellanrum och belyser olika aspekter av uppgifterna för att just fördjupa elevernas förståelse, annars riskerar detta att bara bli ett görande i klassrummet. Med det i beaktande tror jag att det här projektet skulle kunna vara ett intressant inslag i undervisningen.