Svenska/engelska – en resurskrävande slasktratt

Jag har tidigare skrivit om det, enligt mig, onödiga pseudoämnet “elevens val” som kräver mycket resurser (lärares undervisningstid) för att kunna genomföras. Ett ytterligare ”ämne” som jag funderat allt mer över på sistone är sk. svenska/engelska. De elever som antingen inte valt ett språk att läsa på högstadiet eller som hoppar av studierna i moderna språk läser extra svenska och/eller engelska för att ha större möjlighet att få betyg de ämnena. På min skola erbjuder vi också under den här tiden intensivträning i matematik till elever med det behovet.

Det som har hänt på många skolor är att elever utan problem i ämnena svenska eller engelska hoppar av studierna i moderna språk under sin högstadietid. Det innebär att grupperna av elever som läser svenska/engelska växer under de tre åren. Behovet hos eleverna i gruppen varierar också. De elever som inte har några specifika svårigheter använder inte sällan tiden till att arbeta med det som de normalt gör på lektionerna, taktiskt nog, vilket i sin tur innebär att de kan ta det lugnare på ordinarie lektioner i ämnet och ändå nå samma resultat. Jag kan förstå att det är skönt för eleverna men faktum är att detta dels suger resurser från de elever som faktiskt behöver intensivträning eller stöd på annat sätt i svenska eller engelska. Jag tror också att det faktum att eleverna (de utan några särskilda svårigheter) inte utmanas när det gäller tempot på skolarbetet faktiskt också leder till att arbetsron på de ordinarie lektionerna försämras i det långa loppet då eleverna börjar uppleva den ordinarie undervisningen som kravlös. Ser man “ämnet” ur ett organisatoriskt perspektiv används det på sina håll till att “fylla upp” tjänster. Givetvis skulle man kunna organisera stöd och stöttning på ett mer effektivt sätt. Det förekommer också att lärare som inte är legitimerade i ämnena engelska eller svenska undervisar i dessa grupper. Självklart är också det ett slöseri av resurser.

En rektor kan vad jag förstår inte idag (rent juridiskt) neka en elev som inte har några svårigheter i ämnena engelska eller svenska att hoppa av sitt moderna språk. Visst kan man göra det svårare att hoppa av genom att bara bevilja byten vid termin- eller läsårsskiften men problemet kvarstår. Att läsa ett modernt språk innebär att eleven får extra meritpoäng på sitt slutbetyg. Det incitamentet räcker uppenbarligen inte på alla håll. Det kräver en ganska stor arbetsinsats för att lära sig ett nytt språk och alla elever är inte beredda att göra det jobbet. Jag tycker att sk. svensk/engelska ska avskaffas helt och att tiden som lärarna lägger på de lektionerna faktiskt enbart går till de elever som är i behov av det extra stödet. Kanske elever då till och med kan få den stöttning som krävs för att klara av att läsa det nya moderna språket?

Men vad gör vi då av de elever som inte har några svårigheter men som ändå hoppar av moderna språket? Kanske är det dags att göra moderna språk obligatoriskt på högstadiet? Kanske ska rektor ha rätt att neka byte utifrån elevens behov av stöd? Kanske finns andra bättre alternativ? Något behöver i alla fall ändras för som det är idag är svenska/engelska en slasktratt som stjäl resurser från de elever som behöver det mest.

Lära genom misstag och missuppfattningar

I åk 8 arbetade jag för någon vecka sedan med området potenser. I ett blogginlägg av Andrew Stadel från 2013 stötte jag på en intressant lektionsidé som jag bestämde mig att använda mig av. Själva idén är egentligen inte avancerad alls och kanske inte heller kan betraktas som något revolutionerande men min upplevelse är att begrepp/innehåll hamnade i fokus, att alla elever i klassen kunde ta sig an uppgiften på olika sätt och att elevernas olika missuppfattningar kunde lyftas upp till ytan och utredas gemensamt.

Själva uppgiften jag gav till eleverna var följande:

Uppgiften är som synes indelad i tre delar där eleverna först skulle upptäcka felet, sedan rätta felet och till sist motivera sin egen lösning. Jag använde mig av EPA-modellen här. Först fick alla eleverna arbeta enskilt med dessa tre delar för att sedan diskutera och jämföra sina lösningar och motiveringar två och två. Efter det lyfte vi uppgifterna och lösningarna i helklass för diskussion om olika motiveringar. De första 6 uppgifterna hade jag räknat med att de flesta av eleverna i gruppen skulle ha bra koll på, så de fick bli som en slags uppvärmning inför de sista 4 vilka jag också ägnade mer tid till i helklass.

När jag lyfte frågorna i helklass ställde jag samma frågor vid samtliga exempel:

  • Vilket fel har den som svarat på pappret gjort?
  • Hur borde den som svarat gjort istället?
  • Varför?

När vi kom till uppgift 7 upptäckte jag att många elever hade svårt att se kopplingen mellan talet 10-2 och 5-2. Jag hade räknat med att många elever sett (vad gäller tiopotenser) att för varje gång exponenten subtraheras med 1 minskar värdet 10 gånger. Däremot har de inte kopplat det till ett så enkelt samband som att det faktiskt innebär att talet/värdet divideras med 10. När talet 5-2 dök upp svarade många elever, precis som jag hade förutsett, att det var lika med 0,05. Eleverna hade inte insett att när basen är 5 divideras värdet istället med 5. Det blev ett gyllene tillfälle att utreda detta på allvar i klassen. Jag gjorde det genom att rita en tabell på tavlan där vi kunde prova oss fram tillsammans med olika baser (eleverna visste sedan tidigare att x0 =1):

102 = 100

101 =   10

100 =     1

10-1=     1/10 = 0,1

10-2=     0,1 / 10 = 0,01

52 = 25

51 =   5

50 =   1

5-1 =   1/5 = 0,2

5-2 =   ⅕ / 5 = 1/25 = 0,04

32 = 9

31 = 3

30 = 1

3-1= ⅓

3-2 = ⅓ /3 = 1/9

Vid nästa uppgift  1001/2  blev än fler elever konfunderade. “50 borde ju vara rätt”, hörde jag flera elever säga. Här bad jag eleverna finna kopplingen till vårt tidigare resonemang där vi ställt upp en tabell. Vi gjorde ytterligare en tabell och många elever såg där att 1001/2 ligger mellan 1000 och 1001.

1002 = 10000

1001  =     100

1000 =          1

Här var elevernas kunskaper begränsade så jag visade eleverna att talet 100 faktiskt kan skrivas som en tiopotens (102) vilket gav att 1001/2 = (102)1/2. Här kunde flera elever själva förstå att detta var lika med 101. Då ställde jag genast frågan:

  • Vad är 491/2?

Genast hör jag en flicka i klassen som tveksamt säger “7” varpå en annan elev säger ”aha, det är samma som roten ur”. 

Jag ställer då frågan ”vad är 641/2”?

Där har många fler elever förstått kopplingen och svarar “8”.

Lektionen fortsatte med de övriga exemplen och med liknande diskussioner. Något positivt med lektionen var att eleverna betraktade arbetet med något så “torrt” som potenser som viktigt och alla elever deltog aktivt såväl i det individuella arbetet som i diskussionerna där svaren skulle motiveras. Det kanske mest intressanta av allt kring den här övningen är att mina elever verkar ha reagerat likadant på uppgiften som de elever som Andrew Stadel undervisade. En reflektion är att de missuppfattningar som elever har kring olika begrepp i matematik kan vara lika i olika delar av världen, i detta fall kring behandling av potenser. Strukturen på uppgiften var enkel. Det var helt enkelt bara för (alla) eleverna att direkt ta itu med innehållet utifrån sin tidigare kunskap. Sedan möjliggjorde uppgiften också fördjupade diskussioner kring potensbegreppet, diskussioner som givetvis inte blir fördjupade om jag som lärare inte vet vilka missuppfattningar mina elever har/kan ha och att jag själv kan mer om potenser än vad eleverna kan.

Programmering i kursplanen för matematik

För någon vecka sedan beslutade regeringen om sk. förtydliganden och förstärkningar i styrdokumenten för att förtydliga skolans uppdrag att stärka elevernas digitala kompetens. Förändringarna syns i flera delar av läroplanen och inte minst i några olika ämnens kursplaner. Läs mer om de olika ämnenas förändringar här.

Så här lyder de nya formuleringar som ska in i det centrala innehållet i kursplanen för matematik i grundskolan (LGR11):

  • Algebra i årskurs 1–3: Hur entydiga stegvisa instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas som grund för programmering. Symbolers användning vid stegvisa instruktioner.
  • Algebra i årskurs 4–6 samt årskurs 7-9: Hur algoritmer kan skapas och användas vid programmering. Programmering i visuella/olika programmeringsmiljöer.
  • Problemlösning i årskurs 7–9: Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för matematisk problemlösning.

Den formulering som jag fastnar mest vid när jag läser om förändringarna är den som beskriver hur lärare inom ramen för undervisningen i algebra i årskurs 4-6 och i åk 7-9 ska behandla området “programmering i visuella/ olika programmeringsmiljöer”. Här kan vi se en skillnad i svårighetsgrad mellan innehållet i åk 4-6 och 7-9. Medan undervisningen i åk 4-6 ska behandla programmering i visuella miljöer ska undervisningen i åk 7-9 behandla programmering i olika programmeringsmiljöer. Vad innebär detta egentligen i praktiken?

Eftersom formuleringen innehåller ordet olika istället för visuella i åk 7-9 kan vi anta att det som åsyftas är något utöver enbart visuella programmeringsmiljöer. Min tolkning är att det alltså handlar om att skriva kod. Med det i åtanke börjar jag genast reflektera vad som kommer att vara “lägsta-nivån” vad gäller behandling av detta centrala innehåll ute på skolorna. Jag betraktar mig själv som en lärare som i min ungdom vuxit upp med att på fritiden lära mig hantera html-kod och har testat enkla programmeringsverktyg tidigare. Men undervisa i programmering har jag aldrig gjort och min kunskap när det gäller att formulera kod i olika programmeringsmiljöer är begränsad. Visst har jag kommit i kontakt med språk som Javascript, försökt skapa enkla appar på min fritid och knackat fram html-kod men vad är det vi egentligen ska undervisa om/i som ska bredda/fördjupa elevernas algebraiska kunskaper? 

Den största frågan jag har kring formuleringen gäller den generella kunskap vad gäller programmering som vi matematiklärare har. Jag känner mig oroad för hur jag ska klara av att på ett begripligt sätt undervisa detta centrala innehåll om bara ett år och jag kan tänka mig att många andra matematiklärare har samma eller än större farhågor. Det har kommit signaler om kommande kompetensutvecklingsinsatser men jag tror antingen att ansvariga underskattat den tid och omfattning av fortbildning som det finns behov av eller att jag har tolkat formuleringarna alldeles för hårt? Programmering i sig kan vi lärare säkert lära oss till en viss nivå. Jag provade själv att under helgen genomföra en slags introduktionskurs till programmeringsspråket Python bara för att jag var nyfiken på vad som egentligen krävs. Visst kunde jag lära mig delar av detta relativt snabbt men det är länge kvar innan jag har sådan kunskap att jag kan undervisa elever om språket så att jag kan vara så flexibel att undervisningen blir varierad och att eleverna genom min undervisning ser nyttan av språket och kopplingen till algebran i matematik.

En annan fundering är hur denna punkt kommer påverka elever som byter skola? Kommer man lära sig några programmeringsspråk på en skola och andra på andra skolor? Vad händer när en elev byter skola? Jag tror inte Skolverket kommer gå in och bestämma vilka programmeringsspråk undervisningen ska innehålla och i så fall, hur övergripande kan man vara i sin undervisning? Jag räknar med att den här frågan liksom många andra kommer förtydligas i närtid. 2018 är det tydligen skarpt läge. Jag inser att jag behöver kunna så mycket mer och att jag behöver hjälp. Hinner vi förbereda oss så vi är redo ht-18?

Helklassundervisning om matematiska begrepp

Ett matematiskt begrepp kan vara ett matematiskt objekt, som t ex cirkel, en process, som t ex subtraktion, eller en egenskap, som t ex omkrets. För att beskriva ett begrepp måste det gestaltas i någon form av representation. Vilken representation som är lämplig beror på vad man ska ha den till och också vilka förkunskaper man har (http://ncm.gu.se/2)

Skolämnet matematik är uppbyggt av en mängd olika begrepp som eleverna behöver kunna, begrepp som i sin tur hör ihop och bygger på varandra. Varje matematiskt begrepp har en definition och kan representeras på olika sätt vilket eleverna behöver lära sig att förstå och hantera. I och med att det är så många begrepp eleverna behöver kunskap om och att vissa begrepp föregår andra krävs en strukturerad undervisning där eleverna leds av en lärare. Ytlig kunskap om ett nytt begrepp kan många av eleverna ofta tillgodogöra sig enskilt genom att läsa sig till det eller titta på en flippad förklaring men att fördjupa kunskapen (t.ex. få en ökad förståelse för begreppets olika representationer och kunskap om hur det nya begreppets definition relaterar till andra begrepp) kräver i de allra flesta fall en strukturerad undervisning om begreppets olika aspekter. Här passar enligt mig ett gemensamt utredande arbete där missuppfattningar kommer upp till ytan och där olika förklaringar och representationer tillåts diskuteras i korta par- grupp- och helklassdiskussioner. Utöver det behöver naturligtvis eleverna också en hel del enskild träning i att använda begreppen.

Det är när läraren genom undervisningen lyckas skapa friktion i elevens tänkande mellan elevens tidigare kunskap (förförståelse) och det nya begreppet som kunskapen fördjupas. Eleven tvingas reflektera över begreppets definition och representation samt relation till andra begrepp. Det kan t.ex. ske när eleverna tvingas motivera sin förklaring av vad ett begrepp är (och inte är) eller när man diskuterar kända missuppfattningar kring begrepp. Detta kan också ske genom undervisningen i problemlösning. Vägarna till begreppen i matematik är många i och med att hela ämnet är uppbyggt av dem. Utöver diskussion behöver eleverna också träna på att använda de olika representationerna och att växla mellan dessa i olika situationer. Ibland kan det tyckas märkligt att eleverna ska arbeta med en viss mängd uppgifter av samma typ när de redan visat kunskaper kring ett begrepp men syftet med det kan vara t.ex. att befästa eller fördjupa. Det kan ske genom välkonstruerade uppgifter som sätter ljus på begreppets olika aspekter.

Pyramid

Källa: https://sv.wikipedia.org/wiki/Pyramid_(geometri)

I mitt klassrum arbetar eleverna, oavsett kunskapsnivå, nästan uteslutande med samma begrepp på lektionerna (även om det finns undantag då och då). Det innebär att eleverna också, oavsett kunskapsnivå, alltid har en möjlighet att lära sig ett begrepp, både ytligt och på djupet samt få beröra begreppet både konkret och abstrakt, dvs. komma i kontakt med ett begrepps olika sidor.

Ett bra exempel på detta är när jag förra läsåret arbetade i åk 7 med triangelns vinkelsumma. Att lära sig att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader är i sig kanske inte så svårt. Eleven kan helt enkelt lära sig det som ett slags fakta. De flesta av eleverna kommer också ihåg det. Men man kan också fördjupa kunskapen genom att undervisa om hur man i matematiken kan visa att vinkelsumman alltid är just 180 grader. En klassisk övning vi gjorde var att först konkret låta eleverna klippa av hörnen (vinklarna) på en egenkonstruerad triangel, pussla ihop dem för att sedan tydligt se att vinklarna tillsammans är 180 grader. Den övningen kan givetvis också genomföras med andra polygoner. Men som jag då sa till eleverna: hur kan vi veta att det vi klippt är tillräckligt precist? Läraren kan då fördjupa undervisningen till att också innefatta begrepp som t.ex. rak vinkel, alternatvinklar och andra begrepp  som behövs för att matematiskt kunna bevisa triangelns vinkelsumma, dvs. andra begrepp med egna definitioner som begreppet vinkelsumma bygger på. Vi har därmed i undervisningen rört oss mellan det konkreta och abstrakta i någon mån. På så sätt kan man också lyfta det faktum att elevernas kunskaper om begrepp kan bedömas utifrån hur väl en elev faktiskt förstår begrepp på djupet. En elev som enbart vet att vinkelsumman är 180 grader men inte kan motivera det kan därmed anses kunna mindre om begreppet än den som också kan bevisa varför en triangels vinkelsumma alltid är 180 grader. Den senare eleven visar också större kunskap om sambandet mellan olika begrepp genom att kunna relatera begreppets innebörd till andra begrepp på en högre nivå.

Jag säger alltid till mina elever att det inte är viktigast hur många uppgifter de gör i boken utan att det i det sammanhanget är viktigt att de kan/behärskar metoder och begrepp. Men jag är också tydlig med att kunskapen om begrepp (och för den delen också metoder) sannolikt blir bättre om eleven använt begreppet (eller metoden) många gånger, med flera representationer, i många sammanhang och visar eleverna vilka uppgifter i boken (eller andra arbetsuppgifter) som kan hjälpa dem uppnå den säkerheten. Samtidigt poängterar jag alltid att det är bättre att ha gjort en uppgift ordentligt än tre slarvigt. Jag försöker också alltid hjälpa eleverna planera vad de behöver ha gjort och när det behöver vara klart.

Det ska också sägas att jag inte når alla elever alla gånger. Ibland lyckas jag inte få eleverna att arbeta med tillräckligt många uppgifter för att begreppet ska bli ordentligt befäst. Ibland lyckas jag inte undervisa tillräckligt begripligt om begreppet. Ibland är jag för konkret för att eleverna ska kunna lära sig ett begrepp på djupet och ibland för abstrakt och då blir undervisningen obegriplig för eleverna. Men när jag upptäcker detta försöker jag justera min undervisning på olika sätt beroende på vad det handlar om för det ska bli bättre. Min syn på individualiserad begreppsträning i matematik är att den kan nås genom att eleven utmanas att bl.a kunna använda begrepp i många olika situationer, relatera ett begrepp till flera andra begrepp, visa på flera olika representationer av begreppet och att göra det med säkerhet och precision. Min poäng med det här inlägget är att det kan göras inom ramen för en gemensam helklassundervisning.

När elever byter stadium

Den röda tråden i matematikutbildningen i Sverige har några naturliga avbrott, liksom alla andra skolämnen. Dels finns oftast avbrott vid stadieövergångar i grundskolan och likaså ett avbrott mellan övergången från grundskola till gymnasium. Vad kan en lärare förvänta sig att elever kan i ämnet när de börjar åk 4, 7 och första året på gymnasiet? Vad ska lärare sträva mot att eleverna ska kunna när man lämnar ifrån sig eleverna uppåt i systemet? Man kan tänka att elevernas betyg ska visa detta men ett och samma betyg i ett ämne i nuvarande system kan innebära olika kunskapsprofiler för eleverna. Dessutom finns inte specificerat i detalj i ett betyg vad elever kan bra eller mindre bra. På gruppnivå blir det ännu svårare att finna gemensamma styrkor/brister genom betygen. Där kan möjligen de nationella proven eller andra diagnostiska test ge en mer översiktlig bild över en elevgrupps kunnande.

Ifous presenterade i början av februari en rapport där man analyserat elevers matematikkunnande när de börjar gymnasiet. Rapporten baseras på ett diagnostisk test som under de 6 senaste åren genomförts av mer än 30000 elever under deras första dagar på gymnasieskolan. Det som framkommer i rapporten är vilken typ av  uppgifter elever har svårt för när de lämnar grundskolan för gymnasiet. Rapporten kan ge oss lärare i grundskolan välbehövlig information inom vilka områden vi behöver förbättra undervisningen och även ge gymnasielärare en övergripande förståelse för hur kunnandet faktiskt ser ut idag. Jag kan rekommendera lärare i både grundskola och gymnasieskola att fördjupa sig i och diskutera de uppgifter som eleverna arbetat med i det diagnostiska testet. Så här sammanfattar Ifous sin analys:

”Analysen visar på vikten av att arbeta med att kombinera begrepp från olika matematikområden, använda och kommunicera resonemang samt att lösa problem som inte löses lätt med en känd metod. Dessutom understryks att begrepp, metoder och förmågor i uppgifterna kan kopplas både till grundskolans kursplan och gymnasieskolans ämnesplan.”

Här finns rapporten i sin helhet.

Nedan ser du ett filmklipp från ett seminarium där innehållet i rapporten presenterades och diskuterades:

Något vi på min skola börjat intressera oss allt mer för är frågan om hur det går för de elever som lämnar  åk 9 när de börjar gymnasieskolan? Vi har börjat få statistik i form av vilka betyg våra gamla elever får i gymnasiekurserna och har börjat systematisera detta. En svårighet för oss när vi vill systematisera detta är att våra elever lämnar till många olika gymnasieskolor. Statistiken säger inte allt men det säger något och det viktiga för oss är att analysera om det finns ett glapp vid övergången och om eleverna har de kunskaper som förväntas eller inte. Dessutom är det viktigt för oss att analysera vilka kunskaper det är som saknas om eleverna inte har förväntade kunskaper när de börjar gymnasieskolan, varför och försöka göra något åt det. Jag vill mena att samma diskussion måste vara levande mellan alla stadier, varje år, t.ex. i samband med att resultatet på de nationella proven eller betygen analyseras samt inför överlämning av elever mellan stadier.

Olika svårighetsgrad på snarlika uppgifter

Förra veckan skulle jag låta mina 7:or arbeta med en problemlösningsuppgift om mönster och generella uttryck. Uppgiften är en klassisk uppgift som finns förpackad i olika kontexter och på olika sätt. Denna gång handlade problemet om plattläggning i ett badrum. Jag visste precis vilken typ av uppgift jag letade efter inför lektionen och skrev ut den på papper i god tid före. När lektionen började introducerade jag uppgiften för eleverna. Själva problemet bestod av flera delar med stegrande svårighetsgrad och såg ut ungefär som följer:

Plattor ska läggas in i ett badrum enligt det mönster som figuren nedan visar. Hur många blå och vita plattor finns i figur:

A) 4

B) 5

C) 10

D) 100

E) n

Det syfte jag hade med att genomföra uppgiften i åk 7 var bland annat att låta eleverna övas i problemlösning och då inse att de vanligaste strategierna som just nu används i den undervisningsgruppen (rita bilder eller göra tabeller) kan vara begränsade ibland. Ett annat syfte var att eleverna skulle få träna att formulera generella uttryck.

Som vanligt försäkrade jag mig att eleverna förstått uppgiften och lät dem sedan två och två arbeta med uppgifterna. Uppgift A och B var inga problem. Eleverna kunde rita bilder för att visa/räkna hur många vita respektive blå plattor mönstret bestod av. När det gällde uppgift C övergick många av eleverna till att göra tabeller och på så sätt synliggöra mönstret. Sedan tog det stopp för eleverna i åk 7. När det gällde att formulera ett generellt uttryck (uppgift E) var elevernas kunskaper så pass begränsade att ingen elev kunde lösa uppgiften. Då inser jag min blunder. Jag hade valt en uppgift som inte såg ut som den jag trodde jag valt. Min tanke var att eleverna skulle ställas inför följande uppgift på samma tema och med samma deluppgifter:

När det gäller att skriva ett generellt uttryck var min tanke att de flesta av eleverna genom sin tabell (eller genom sina bilder) skulle kunna skriva ett uttryck för antalet blå plattor i figur n vilket skulle få bli ingången till att skriva mer avancerade uttryck. Den delen av uppgiften var betydligt svårare att synliggöra för eleverna genom en bild eller tabell i den första bilden/mönstret. Det hade alltså varit lämpligare att använda det senare mönstret för att nå djupare kunskaper under lektionen än vad vi faktiskt gjorde. Men var lektionen bortkastad? Givetvis var den inte det. Eleverna fick lösa delar av ett problem vilket i sig är en övning. De fick motivera sina lösningar och samtliga elever som deltog i aktiviteten insåg att vissa strategier vid problemlösning kan vara mer begränsade/ineffektiva än andra i vissa situationer. Tyvärr fick eleverna inte träna att skriva generella uttryck i tillräcklig grad och med lämplig svårighetsgrad i uppgiften.

Men skam den som ger sig. Jag bestämde mig för att genomföra samma uppgift som jag genomförde i åk 7 i åk 8 istället. I åk 8 har eleverna blivit betydligt säkrare algebraiskt och har större kunskap om t.ex. potenser och uttryck samt besitter också metoder för att t.ex. multiplicera åtminstone en parentes. Det intressanta här var att eleverna direkt lyckades formulera det generella uttrycket för de blå plattorna. De gav sig också på det totala antalet plattor och fick ett behov att kunna multiplicera två parenteser (vilket inte alla elever är säkra på ännu). Detta förde in oss på kvadreringsreglerna vilka vi arbetar med i åk 9 vilka jag kunde nämna för åk 8 också för att visa på den röda tråden i undervisningen framgent i grundskolan.

Lektionen i åk 8 var lyckad tycker jag. Eleverna visade både redan förvärvade kunskaper och fördjupade sig ytterligare på temat. Uppgiften i sig är lätt för alla elever att förstå och delta i efter sina förkunskaper. Svårighetsgraden i uppgifterna går från mycket lätt och konkret till betydligt svårare med stora krav på abstrakt tänkande.

Tittar vi kort på de generella uttrycken (uppgift E) ser de ut som följer:

Den första (svårare) uppgiften:

Blå plattor: 4n-3

Vita plattor:(4n² – 4n + 1) – (4n – 3)= 4n² – 8n + 4  

Totalt antal plattor: (2n-1)(2n-1)= 4n² – 4n + 1

 

Den andra (lättare) uppgiften:

Blå plattor: 4n + 1

Vita plattor: 4n²

Totalt antal plattor: (2n + 1)(2n + 1) = 4n² + 4n + 1

Som synes kan båda uppgifterna vara en utmärkt introduktion till kvadreringsreglerna eller metoder för att multiplicera uttryck. Det finns alltså en chans att uppgiften kan skapa ett behov hos eleverna att kunna något nytt som de inte kan.  En ytterligare lärdom man kan dra av en sådan lektion som den i åk 7 är att även om en lektion inte tar de vägar man har tänkt sig alla gånger så kan man ta tillvara på det man som lärare ser, när man reflekterar över det som var bra och det som var mindre bra och vid planering av nya lektioner. Samtidigt syns det också tydligt att svårighetsgraden i den ena uppgiften är något svårare än den andra vilket såklart påverkar hur väl uppgiften mottas, helt beroende av kunskapsnivån hos eleverna i undervisningsgruppen.  

A crappy lesson with ICT is still a crappy lesson!

Förra veckan åkte jag tillsammans med några andra av ämnesspanarna till London. Något jag hade stora förväntningar på var skolbesöket vi skulle göra under onsdagen. Vi åkte till Benhurst Primary School i utkanten av London och besökte en skola som enligt uppgift “på några få år har lyckats vända resultaten med hjälp av väl genomarbetade strategier och en kraftfull satsning på digitala verktyg och digitala arbetssätt i undervisningen”. I mina öron låter det naturligtvis bra att man snabbt lyckats vända resultaten men källkritisk som jag är kände jag att orsakerna behövde undersökas på djupet. Jag återkommer till det i slutet av inlägget*.

Skolbesöket började med en samling i skolans gymnastiksal där provisoriska bord och stolar ställts upp till oss besökare. Det märktes att det här inte var första gången skolan hade besök. Det gick på rutin. Rektor kom in punktligt och presenterade stolt skolan och berättade också om den utveckling skolan gjort de senaste 4 åren då de förbättrat resultaten, från att ha varit en skola som fått nedslag av motsvarigheten till Skolinspektionen till att betraktas som en bra skola av densamma några år senare. Rektor berättade att det 2012 inte fanns någon nämnbar teknik på skolan och att man sedan dess satsat på Smartboards och iPads samt en datasal till eleverna. Rektor var tydlig med att de kunde valt någon annan typ av hård- programvara men att de valt denna för att de tycker den är bra. Samtidigt poängterade rektorn att personalen utbildats och har lagt mycket tid till att lära sig tillämpa verktygen pedagogiskt vilket var viktigare än verktygen i sig. Utöver det hade rektorn hand om ett Twitterkonto samt att skolan hade en egen hemsida som kommunikationskanal till vårdnadshavarna. Det hela lät inte så märkvärdigt i mina öron men jag var mycket spänd på att få se den undervisningspraktik i vilken de digitala verktygen används.

En elev guidade oss runt på skolan utifrån ett förutbestämt schema. Vi guidades först in i ett klassrum där eleverna arbetade med iPads. Något som nästan var otäckt var att ingen av eleverna rörde en min när vi, tio okända människor, steg in i det lilla klassrummet och ställde oss efter väggen för att observera undervisningen. Jag antar att det berodde på att eleverna var vana vid besök. Lektionen i sig handlade om hur däggdjur förökar sig och eleverna skulle i par skriva en text om detta på sina iPads. När jag tittade runt i klassrummet slogs jag av att många av eleverna i paren inte var aktiva alls. Flera elever tittade på när klasskamraten arbetade med texten Läraren stod längst fram i klassrummet och noterade inte de passiva eleverna. Visserligen var vi inte inne i klassrummet en hel lektion men min spontana reflektion var att dessa elever försvann i mängden. Fokus låg på att visa oss det digitala verktyget. Hur mycket lärde sig alla eleverna om hur däggdjur förökar sig? Jag kan inte göra den bedömningen efter så kort tid i klassrummet men min reflektion var att många elever fick vara passiva vid aktiviteten. Jag fann inget mervärde i verktyget än i ett vanligt ordbehandlingsprogram.

Ett annat stopp vi gjorde var inne på en grammatiklektion. Läraren satt framme vid den interaktiva tavlan medan eleverna var indelade i grupper. Några elever fick stå framme vid tavlan som representanter för sina grupper. På tavlan stod ett påstående eller en fråga och fyra alternativ. Grupperna skulle välja rätt påstående. De som stod vid tavlan fick sedan ta del av de olika argumenten och sedan ange ett svar på frågorna och samla poäng till sitt lag. Övningen i sig tycker jag var bra. Att motivera olika val/svar utmanar eleverna att tänka efter. När jag observerade lektionen tyckte jag dock att läraren inte lät eleverna få tillräckligt med tid att tänka. Läraren tog ingen hänsyn till ljudnivån i klassrummet som var hög och min bedömning var att de elever som behövde det mest inte fick tänka på djupet och reflektera över de olika motiveringarna i tillräckligt hög grad, som ju faktiskt är själva poängen med lektionen. I det fallet hamnade tekniken mer i fokus än pedagogiken. Samtidigt vill jag poängtera att jag inte tycker undervisningen är dålig heller. Nivån på innehållet var säkert adekvat, övningen var bra men den går att förfina genom att t.ex. låta få eleverna mer tid till eftertanke. En ytterligare reflektion var att det faktiskt finns mängder av näst intill gratis alternativ för att genomföra övningen.

Det sista stoppet gjorde vi i skolans datasal. Där skulle elever visa oss hur de kunde skapa enkla presentationer som de kunde lätt navigera i, lite som en enklare version av Prezi och ett verktyg som läraren vid den första lektionen (den om däggdjuren) vad jag förstod skapat elevernas dokument i. Jag satte mig ned med en pojke som gick i åk 5 eller 6. Han visade mig några enkla funktioner, t.ex. hur man kunde rita kvadrater eller rektanglar i presentationen. När jag frågade hur man kunde lägga in en bild eller ett videoklipp på ytan tog det stopp. Jag tyckte synd om den stackars eleven som tappade ansiktet lite och visade lite tyst i smyg hur man gjorde. Han fick alltså lära sig något nytt vilket alltid är trevligt. Jag talade sedan en stund med eleven och frågade vad det bästa med att arbeta med digitala verktyg var? Instinktivt svarade han att eleverna hade blivit bättre på att samarbeta och kommunicera med varandra. “We collaborate better and interact better with each other”. Med tanke på att det här inte var första gången skolan hade besök ville jag höra mer på djupet vad det innebar för han och hans kamrater på skolan. Jag frågade pojken varför eleverna interagerar och kommunicerar bättre nu? Pojken tvekade länge men sedan svarade han sådär ärligt som bara ett barn kan att det nu är mycket roligare för man kan flytta texten på en iPad, det kan man inte på ett papper! Personligen tror jag att det pojken famlade efter var att undervisningen blivit mer varierad, något jag tyckte mig se tecken på att skolan hade utvecklat. 

Det kanske bästa med själva besöket var rektorns förhållningssätt till skolan. Jag såg en engagerad rektor som värnade om sin personal. Jag kan inte konkurrera med lön men mina lärare ska trivas så bra på sitt jobb så att de inte vill lämna skolan. ”När de väl lämnar skolan kommer jag dock stötta dem helhjärtat”, sa rektorn. Rektorn var också ett tydligt ansikte utåt för skolan gentemot vårdnadshavarna. Elever som upplevde problem i skolan kunde när som helst kontakta honom via ett formulär som gick direkt till hans mailkorg. Rektorn hade en tydlig idé var skolan var på väg och hymlade inte med att den pedagogiska utvecklingen fortsatt var mycket viktig. “En skräplektion är fortfarande en skräplektion med digitala verktyg, bara lite snyggare”. Rektor var också via skolans hemsida tydlig utåt med detaljer kring skolarbetet, t.ex. hur eleverna lärde sig multiplikation: “at Benhurst Primary school we multiply this way”. Det vi ska komma ihåg är att skolan i Storbritannien inte ser ut som den svenska skolan, på gott och ont. Ett exempel på det senare är hur tydligt belönings- och bestraffningssystemen i skolan syns och som placerar eleverna i fack och makthierarkier, något som inte skulle få (eller ens bör få) förekomma i Sverige, tack och lov.

Min analys av besöket är att digitalisering inte är så enkelt, någonsin. Precis som med en skola som vill ha högt till tak räcker det inte att säga att man ska ha högt till tak eller att pedagogik ska komma före teknik för att det faktiskt ska bli så. Tekniken behöver ge undervisningen en ny dimension, ett pedagogiskt mervärde. Nu låter jag ganska kritisk till lärarnas pedagogik på skolan men faktum är att jag tror att lärarna på skolan gjorde ett ganska bra jobb. Framförallt hade de en klar bild över varför de gjorde just som de gjorde i den praktik de arbetade i. Det fanns en lägstanivå i hur man använder digitala verktyg på lektionerna som var högre än på många svenska skolor, tack vare att lärarna lärt sig enbart ett verktyg som skolan satsat på ordentligt. Baksidan med det är att just det verktyget inte är det bästa verktyget i alla situationer/ämnen. Idag finns många bättre alternativ som faktiskt är dessutom är gratis. Samtidigt har jag inte sett det övriga arbetet som skedde utan digitala verktyg så jag har inte på något sätt en heltäckande bild av skolans undervisning, bara glimtar. Men skolan profilerar sig utifrån sin resultatutveckling med hjälp av digitala verktyg och där är jag inte speciellt imponerad. Tyvärr fick vi inte till någon djupare pedagogisk diskussion med lärarna kring deras undervisning och kopplingen till de tekniska investeringarna så många frågor förblir såklart obesvarade. Pedagogik före teknik även i praktiken, eller? Men det, i sig, är väl ganska likt hur det förhåller sig på många svenska skolor också!    

*Så hur var det då med den här källkritiska granskningen jag talade om i början av inlägget? Jag googlade fram de inspektionsprotokoll jag kunde finna om skolan. Mellan åren 2004 och 2012 betraktades skolan vid inspektioner som “Very good school” eller “Outstanding school”. 2012 kom inspektionen fram till att skolan behövde åtgärda några saker. Bland annat står det att läsa i rapporten att vita brittiska pojkar behövde utveckla sin handstil och att lärarna behövde ställa fler frågor till eleverna för att försäkra sig om att eleverna har förstått. 2013 står i en rapport att skolan är i akut behov av att “köpa IKT-verktyg för att förbättra lärandet och göra lektionerna mer levande”. Vid den senaste inspektionen bedömdes skolan återigen som “Good”. Vad jag förstår hade skolan inte ens projektorer i klassrummen innan 2012. Var det inspektionsutlåtandet som tvingade in skolan i digitaliseringsprocessen eller den pedagogiska idén? Hur som helst var detta inte en skola som under lång tid varit dålig och nu blivit bra utan snarare en skola som efter en tid blivit eftersatt både i den fysiska och digitala miljön som vi i Sverige tar för givet idag, vilket påverkat resultaten negativt. Ett problem som man alltså lyckats lösa delvis genom insatser. Att utveckla elevernas handstil (som inspektionen hade krävt att skolan skulle förbättra) jobbar man bevisligen med idag, utöver de digitala verktygen:

Vad är ett matematiskt resonemang egentligen?

Begreppet resonemang fanns inte med i de tidigare kursplanerna för matematikämnet i grundskolan åtminstone inte explicit uttryckt. Det var först i och med LGR11 matematiska resonemang skrevs fram som en ämnesspecifik förmåga för eleverna att utveckla och en kunskapskvalitet för oss lärare att bedöma. Men vad karaktäriserar egentligen ett matematiskt resonemang och vilka olika aspekter av ett matematiskt resonemang finns att ta hänsyn till? Hur kan vi lärare arbeta för att utveckla elevernas förmåga att resonera matematiskt?

En bok som jag kan rekommendera alla lärare att läsa och som på djupet förklarar olika aspekter av de framskrivna ämnesspecifika förmågor som uttrycks i LGR11 med tydliga exempel är Anette Jahnkes “Skolan och förskolans matematik – kunskapssyn och praktik”.

Jahnke beskriver i boken hur man kan se resonemang i matematik på två olika sätt. Dels kan man presentera ett korrekt färdigt resonemang om något, såsom formella bevis med logiska slutsatser eller informella förklaringar.

Resonemang kan ses som det som binder ihop det som betraktas som sant genom att påståenden som vi redan har övertygat oss om är sanna används i resonemang för att etablera nya sanningar. Vi hoppar från tuva till tuva av sanningar.”

Men man kan också använda resonemang som ett medel för att nå slutsatser. Jahnke menar att:

“Ett bredare perspektiv ger att resonemang ingår i skapande och intuitiv verksamhet och involverar därmed till exempel att prövningar, ifrågasättande och gissningar.”

Men vilken typ av resonemang ska eleverna utveckla? I kursplanen för matematik i grundskolan står att eleverna ska utveckla sin förmåga att föra, följa och värdera matematiska resonemang om tillvägagångssätt, rimlighet och om hur begrepp relaterar till varandra och vi lärare ska också bedöma hur väl eleverna kan det. Men vad innebär detta i praktiken?

Kvalitet i ett matematiskt resonemang handlar inte om att eleven är bra på att förklara hur och varför eleven har tänkt som hen har tänkt utan varför det är som det är eller varför slutsatsen blir som den blir utifrån det matematiska innehållet (t.ex. när en elev resonerar och motiverar samband mellan begrepp eller om varför en lösning av ett problem är korrekt). Vi är alltså som lärare i fallet om bedömning av kvalitet i resonemang intresserade av hur väl eleven motiverar sina matematiska slutsatser och inte hur eleven ser på sig själv och sin process vid problemlösning eller hur mycket eleven pratar/skriver. Det är hur väl eleven lyckas “snäva in” sin motivering med hjälp av logiska slutledningar och matematikens språk som är kvalitetsaspekten. Att kunna uttrycka sig så specifikt som möjligt ställer därför också stora krav på den begreppsliga kunskapen.

Att kunna följa ett resonemang handlar om att kunna tolka andras resonemang, vilket i någon mån handlar om att språkligt (matematiskt/logiskt) kunna delta i en gemenskap med matematikens innehåll i fokus. När eleverna värderar ett resonemang kan de antingen aktivt hålla med eller ta avstånd från till exempel en motivering eller förklaring av det matematiska innehållet utifrån sin egna rådande kunskap att föra och följa  resonemang. Med anledning av ovanstående är det viktigt att vi lärare reflekterar över vilka frågor vi lärare ställer till eleverna så att de får utveckla just matematiska resonemang och inte bara vilka resonemang som helst.

I ett tidigare inlägg har jag beskrivit hur vi arbetar med problemlösning genom något som kommit att kallas “Matsalsmatte”. Oftast har vårt fokus legat på att utveckla elevernas förmåga att resonera och lösa problem på de lektionerna. Vår uppgift som lärare har varit och är att stimulera eleverna till att visa och utveckla sina matematiska resonemang antingen muntligt eller skriftligt genom att ställa frågor kring problemet de löser/har löst.

Några frågor eller påståenden som passar utmärkt för detta ändamål är:

  • förklara varför det är så!
  • hur kan du veta det?
  • kan du dra någon slutsats utifrån det?
  • hur vet du att det här är rätt?
  • varför är svaret 32 kr?
  • bevisa att lösningen är korrekt!
  • är/blir det alltid så?

Något jag reflekterat över senaste veckorna är att elever som har en utvecklad problemlösningsförmåga förmodligen per automatik för egna utvecklade mentala resonemang med sig själv när de löser matematiska problem. Samtidigt tror jag att vi lärare med hjälp av frågor som de ovan kan  hjälpa eleverna att i tal och skrift utveckla sin förmåga att korrekt motivera och bevisa (i varierande formell grad) varför lösningen blir som den blir, dvs. att resonera matematiskt.

Litteratur:

Jahnke, Anette. Skolan och förskolans matematik- kunskapssyn och praktik (2016). Lund: Studentlitteratur.

Lgr 11. Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket.

Rika matematiska problem

Problemlösning i matematik är något som kan vara svårt att sätta fingret på och precisera vad det är och än svårare att förklara för elever vid ett enstaka tillfälle. Det är snarare genom problemlösningsaktiviteter över tid eleverna får förståelse för begreppets innebörd och får syn på problemlösningens många ansikten.

Problemlösning innebär att lösa ett problem eller en uppgift där de begrepp, metoder och strategier som ska/bör/kan användas inte är givet på förhand för eleverna. Givetvis är det bra ju mer välfylld elevernas verktygslåda med begrepp, strategier och metoder är inför problemlösningen men det räcker inte. Eleverna måste övas i att välja och använda olika begrepp och strategier i olika sammanhang där det alltså inte är känt på förhand. Det är också i det här sammanhanget eleverna tillåts vara kreativa genom att t.ex. finna för dem nya sätt att kombinera begrepp och metoder de redan behärskar i sina strategier för att lösa problem. Det går inte att tolka grundskolans kursplan på annat sätt än att just problemlösning har en särställning i matematikämnet. Problemlösning är enligt kursplanen i sig en förmåga att utveckla men också ett centralt innehåll genom vilket de övriga matematikkunskaperna kan utvecklas. Problemlösning ingår också i kunskapskraven. 

Men hur kan man undervisa en hel klass i problemlösning då eleverna har så vitt skilda kunskaper om begrepp och metoder och även har olika utvecklat matematiskt språk? Ett sätt är att använda sig av rika matematiska problem som alla elever kan jobba med samtidigt utifrån sin förförståelse och som låter eleverna få upp sina ögon för nya övergripande eller specifika matematiska idéer.

I Eva Taflins avhandling “Matematikproblem i skolan – för att skapa tillfällen till lärande” finns en beskrivning av sju kriterier som behöver vara uppfyllda för att ett problem ska kunna betraktas vara ett matematiskt rikt problem:

  • Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
  • Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
  • Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
  • Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer.
  • Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
  • Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
  • Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

Ett exempel på hur ett rikt matematiskt problem kan se ut och som är en klassisk uppgift att arbeta med på mellan- och högstadiet i samband med undervisning om mönster är “Stenplattorna”. Uppgiften finns i många olika varianter och hittas också i de flesta läromedel i någon form. Det som karaktäriserar problemet är att de första deluppgifterna i problemet har en ganska konkret karaktär. Eleverna kan rita en bild eller en tabell för att lösa problemet eller få extra stöttning av konkret material för att själva bygga plattläggningen och utifrån det upptäcka/se mönster. De senare delarna av problemet rör sig mer mot det abstrakta och ställer därmed högre krav på eleverna att finna lösningar som är generellt applicerbara (t.ex. algebraiska lösningar). Tack vare att problemet är mångfacetterat och att olika lösningsstrategier kan användas skapas goda möjligheter för helklassdiskussion där strategiernas förtjänster och begränsningar kan diskuteras, värderas och relateras till problemet. Problemet går också att förenkla och försvåra genom att man som lärare förändrar plattläggningens utseende. 

Något som är extra viktigt att tänka på och ägna tid åt när man arbetar med problemlösning i helklass är att se till att alla elever har förstått vad problemet går ut på innan de ges tillfälle att börja arbeta. Först då eventuella missuppfattningar om vad problemet handlar om retts ut finns möjlighet för eleverna att göra upptäckter genom problemlösningen. Om eleverna inte förstår problemet riskerar de bärande matematiska idéerna som problemet ska lyfta fram i rampljuset att istället hamna i skuggan.

När det gäller grundskolans matematik finns det några strategier (vilka också nämns i Taflins avhandling) som elever kan anamma. Det kan tyvärr också vara lätt att tro att dessa strategier växer fram av sig själv hos eleverna men faktum är att lärarens uppgift måste vara att ställa eleverna inför problem där deras tankar utmanas och där de får utveckla nya strategier istället för att bli begränsade till enbart en strategi. De olika strategierna kräver var och en olika mycket av eleverna vad gäller abstraktion, både som strategi i sig men också i relation till problemformuleringen och problemets karaktär. 

  • välja en eller flera operationer att arbeta med
  • rita bilder
  • söka mönster
  • arbeta baklänges
  • göra en lista
  • göra en tabell, ett diagram eller en graf
  • gissa och pröva
  • lösa ett enklare problem
  • använda laborativa material eller modeller
  • ställa upp en ekvation eller en formel (algebraisk lösningsstrategi)

Personligen har jag på senare tid lagt mer fokus på att ägna ordentligt med tid att diskutera den algebraiska lösningsstrategin med eleverna, oavsett vilken kunskapsnivå de ligger på i matematikämnet. I problemet med stenplattorna har jag upplevt att den diskussionen kommer naturligt då elevernas resonemang om antalet stenplattor i figur 100 eller figur 1000 blir en brobyggare mellan det konkreta och det abstrakta.

Här har jag gjort en liten illustration med de olika strategierna som man kan hänga upp i klassrummet eller ge eleverna som stöttning när de övar problemlösning. Givetvis räcker det inte att ge eleverna texten i sig utan varje strategi behöver beröras på djupet i undervisningen genom smarta val av problemlösande aktiviteter. I det sammanhanget tror jag rika problem kan vara ett utmärkt sätt att inkludera alla elever i undervisningen.

Klicka här för att ladda ned bilden nedan som pdf-fil.

problemlosningsstrategier

.

Gratis resurser till matematikundervisningen

Det finns en uppsjö av verktyg och material för matematikundervisningen på internet. Kvaliteten på dem oerhört varierande och ska jag vara helt ärlig finns det mycket som faktiskt är skräp. Jag påminner mig om min egen matematiklärare på högstadiet som 1994 när jag gick i åttan sa:

Internet är som en stor affär som du går in i för att handla en liter mjölk men du kommer ut med en rosa slips runt huvudet och har ingen aning om varför.

Med det sagt kan det ibland vara svårt att navigera bland det stora utbud som finns på nätet och frustrationen kan också vara stor då så mycket av materialet man stöter på faktiskt inte alls håller måttet. Jag har här listat några resurser som jag tycker dels håller en bra kvalitet och som har utvecklingspotential. Resurserna ger/kan ge ett mervärde före, på eller efter lektionerna utöver de böcker, uppgifter och aktiviteter jag också använder i min undervisning, något jag tycker är viktigt men minst lika viktigt att komma ihåg är att resurserna i sig aldrig kan ersätta lärarens undervisning. Det är hur läraren använder resurserna som är avgörande.

 

Geogebra  

Geogebra fungerar som en interaktiv yta där man kan skapa undervisningsrelaterat material inom områden som algebra, geometri och grafritning. Det finns dessutom oändligt med lättillgängligt färdigt material skapat av lärare för lärare och elever att laborera med eller utveckla vidare. Dessutom finns det en Facebookgrupp med support för den som behöver hjälp med såväl tekniska som pedagogiska frågor här

Visualpatterns

Visualpatterns handlar om mönster precis som man hör på namnet. Det finns flera hundra olika bilder på mönster på den här sidan som alla följer samma struktur. Eleverna får veta hur mönstret växer i steg 1, 2 och 3 samt steg 43 och ska sedan undersöka mönstren för att kunna skriva generella uttryck. Ofta finns det enbart få exempel för eleverna i matematikböckerna för att öva detta och då är dessa bilder ett bra komplement.

Desmos

Desmos är både en grafritande räknare och en yta där lärare kan planera lektioner eller delar av lektioner digitalt för sina elever. Det finns också interaktiva övningar färdiga att använda med elever, främst när det gäller att undersöka funktioner/grafer av olika slag. Jag har skrivit ett separat inlägg om några av Desmos funktioner här.

Graphingstories

Graphingstories är en sida som innehåller kort videosnuttar som illustrerar något som också kan uttryckas genom en graf. Elevernas uppgift är att titta på videoklippet och sedan öva på att skissa grafer och namnge axlarna (och skalan) korrekt.

Resurscenter för matematik, naturvetenskap och teknik i skolan

Sidan är en mötesplats för lärare som undervisar i svenska skolor i Finland. Här finns mycket matnyttigt och inte minst material till undervisningen i matematik fördelat på olika stadier. Matteva är en välkänd resurs för färdighetsträning som också länkas till på sidan för resurscentret.

Youtube

På youtube finns både bra och mindre bra exempel på genomgångar i matematik. När det gäller gymnasiematematiken har nog ingen undgått att höra talas om Daniel Barker och hans videogenomgångar som finns tillgängliga och uppdelade i spellistor här. För högstadiets del har en lärare som heter Tobias Kroon och arbetar i Varberg gjort ett bra jobb och spelat in videogenomgångar. Jag har med hans tillåtelse strukturerat upp dessa klipp på sidan matematik789.wordpress.com. Klippen finns naturligtvis också här i en spellista på Youtube.